Y=x2+sinx в точке х0=п
Для решения задачи нужно найти значение производной функции \( y = x^2 + \sin x \) в точке \( x_0 = \pi \).
Определим функцию:
\[ y = x^2 + \sin x \]
Найдём производную функции.
Производная суммы двух функций равна сумме производных, т.е.:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(\sin x) \]
Для \(\frac{d}{dx}(x^2)\), используем правило степени:
\[ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \]
Для \(\frac{d}{dx}(\sin x)\), используем таблицу производных:
\[ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \]
Таким образом, производная функции:
\[ \frac{dy}{dx} = 2x + \cos x \]
Подставим \( x_0 = \pi \) в производную:
\[ \frac{dy}{dx} \bigg|_{x = \pi} = 2\pi + \cos \pi \]
Значение \(\cos \pi = -1\), поэтому:
\[ \frac{dy}{dx} \bigg|_{x = \pi} = 2\pi - 1 \]
Итак, значение производной функции \( y = x^2 + \sin x \) в точке \( x_0 = \pi \) равно \( 2\pi - 1 \).
