4x²+12x+9
Давайте решим уравнение \(4x^2 + 12x + 9\) и подробно объясним каждый шаг.
Это квадратное выражение можно решить несколькими способами: факторизацией, использованием формулы корней квадратного уравнения или квадратного дополнения. Мы выберем метод факторизации.
Шаг 1: Приведение к стандартной форме
Мы имеем квадратное выражение:
\[ 4x^2 + 12x + 9 \]
Шаг 2: Подбор двух чисел
Чтобы факторизовать это выражение, мы ищем два числа, которые в сумме дают коэффициент перед \(x\) (12), а в произведении дают произведение первого и последнего коэффициента: \(4 \cdot 9 = 36\).
Мы ищем два числа, которые:
- В сумме: \( a + b = 12 \)
- В произведении: \( a \cdot b = 36 \)
Решения для этих свойств: \(6\) и \(6\) (поскольку \(6 + 6 = 12\) и \(6 \cdot 6 = 36\)).
Шаг 3: Запись квадратного трёхчлена в виде произведения
Теперь мы можем записать выражение, используя эти два числа:
\[ 4x^2 + 6x + 6x + 9 \]
Группируя, получаем:
\[ (4x^2 + 6x) + (6x + 9) \]
Теперь можем вынести общий множитель:
\[ 2x(2x + 3) + 3(2x + 3) \]
Теперь мы видим, что \(2x + 3\) является общим множителем. Факторизуем его:
\[ (2x + 3)(2x + 3) \quad \text{или} \quad (2x + 3)^2 \]
Шаг 4: Проверка
Чтобы убедиться, что факторизация правильная, можем разложить обратно:
\[ (2x + 3)(2x + 3) = 4x^2 + 6x + 6x + 9 = 4x^2 + 12x + 9 \]
Шаг 5: Находим корни квадратного уравнения
Теперь, чтобы найти корни уравнения \(4x^2 + 12x + 9 = 0\), мы будем решать уравнение:
\[ (2x + 3)^2 = 0 \]
Отсюда:
\[ 2x + 3 = 0 \]
Решая это уравнение, получаем:
\[ 2x = -3 \] \[ x = -\frac{3}{2} \]
Ответ
Таким образом, у данного квадратного выражения есть один (двойной) корень:
\[ x = -\frac{3}{2} \]
Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решается задача! Если есть еще вопросы или нужно что-то объяснить подробнее, не стесняйтесь спрашивать.
