4x²+12x+9

Давайте решим уравнение \(4x^2 + 12x + 9\) и подробно объясним каждый шаг. Это квадратное выражение можно решить несколькими способами: факторизацией, использованием формулы корней квадратного уравнения или квадратного дополнения. Мы выберем метод факторизации. ### Шаг 1: Приведение к стандартной форме Мы имеем квадратное выражение: \[ 4x^2 + 12x + 9 \] ### Шаг 2: Подбор двух чисел Чтобы факторизовать это выражение, мы ищем два числа, которые в сумме дают коэффициент перед \(x\) (12), а в произведении дают произведение первого и последнего коэффициента: \(4 \cdot 9 = 36\). Мы ищем два числа, которые: - В сумме: \( a + b = 12 \) - В произведении: \( a \cdot b = 36 \) Решения для этих свойств: \(6\) и \(6\) (поскольку \(6 + 6 = 12\) и \(6 \cdot 6 = 36\)). ### Шаг 3: Запись квадратного трёхчлена в виде произведения Теперь мы можем записать выражение, используя эти два числа: \[ 4x^2 + 6x + 6x + 9 \] Группируя, получаем: \[ (4x^2 + 6x) + (6x + 9) \] Теперь можем вынести общий множитель: \[ 2x(2x + 3) + 3(2x + 3) \] Теперь мы видим, что \(2x + 3\) является общим множителем. Факторизуем его: \[ (2x + 3)(2x + 3) \quad \text{или} \quad (2x + 3)^2 \] ### Шаг 4: Проверка Чтобы убедиться, что факторизация правильная, можем разложить обратно: \[ (2x + 3)(2x + 3) = 4x^2 + 6x + 6x + 9 = 4x^2 + 12x + 9 \] ### Шаг 5: Находим корни квадратного уравнения Теперь, чтобы найти корни уравнения \(4x^2 + 12x + 9 = 0\), мы будем решать уравнение: \[ (2x + 3)^2 = 0 \] Отсюда: \[ 2x + 3 = 0 \] Решая это уравнение, получаем: \[ 2x = -3 \] \[ x = -\frac{3}{2} \] ### Ответ Таким образом, у данного квадратного выражения есть один (двойной) корень: \[ x = -\frac{3}{2} \] Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решается задача! Если есть еще вопросы или нужно что-то объяснить подробнее, не стесняйтесь спрашивать.