Для решения задачи найдем площадь полной поверхности и объем прямой треугольной призмы с заданными параметрами.
Шаг 1: Определим параметры треугольной призмы
В основании призмы находится прямоугольный треугольник. Из условия известно:
- Один катет (a) = 5 см
- Гипотенуза (c) = 13 см
Для нахождения второго катета (b) воспользуемся теоремой Пифагора:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
Подставляем известные значения:
[
13^2 = 5^2 + b^2
]
[
169 = 25 + b^2
]
Вычтем 25 из обеих сторон уравнения:
[
b^2 = 169 - 25 = 144
]
Теперь найдем b:
[
b = \sqrt{144} = 12 \text{ см}
]
Таким образом, длины сторон основания треугольника:
- Один катет (a) = 5 см
- Второй катет (b) = 12 см
- Гипотенуза (c) = 13 см
Шаг 2: Найдем площадь основания
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:
[
S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
Подставим значения:
[
S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30 \text{ см}^2
]
Шаг 3: Найдем высоту призмы
Из условия задачи известно, что боковое ребро призм ы равно одному из катетов, в данном случае – второму катету (b):
[
h = 12 \text{ см}
]
Шаг 4: Найдем объем призмы
Объем прямой призмы вычисляется по формуле:
[
V = S_{\text{осн}} \cdot h
]
Подставим значения:
[
V = 30 \cdot 12 = 360 \text{ см}^3
]
Шаг 5: Найдем площадь полной поверхности
Площадь полной поверхности призмы состоит из двух частей:
- Площадь боковых поверхностей.
- Две площади оснований.
Площадь боковых поверхностей:
Треугольная призма имеет 3 боковые стороны. Площадь каждой из них можно найти, умножив высоту на длину (катет или гипотенузу):
Для катета a (5 см):
[
S_1 = h \cdot a = 12 \cdot 5 = 60 \text{ см}^2
]
Для катета b (12 см):
[
S_2 = h \cdot b = 12 \cdot 12 = 144 \text{ см}^2
]
Для гипотенузы c (13 см):
[
S_3 = h \cdot c = 12 \cdot 13 = 156 \text{ см}^2
]
Теперь сложим площади боковых сторон:
[
S_{\text{бок}} = S_1 + S_2 + S_3 = 60 + 144 + 156 = 360 \text{ см}^2
]
Площадь оснований (две одинаковые площади):
[
S_{\text{осн}} \cdot 2 = 30 \cdot 2 = 60 \text{ см}^2
]
Шаг 6: Общая площадь полной поверхности
Теперь сложим площади боковых поверхностей и оснований:
[
S_{\text{пол}} = S_{\text{бок}} + 2 \cdot S_{\text{осн}} = 360 + 60 = 420 \text{ см}^2
]
Ответ
- Объем призмы: (V = 360 \text{ см}^3)
- Площадь полной поверхности: (S_{\text{пол}} = 420 \text{ см}^2)
Эти расчеты помогут вам понять, как вычислять площадь и объем прямых призмы на основе данных о ее основании и высоте.
