Для решения данной задачи мы будем использовать информацию о функции распределения ( F(x) ) случайной величины ( X ).
Согласно определению, функция распределения ( F(x) ) показывает вероятность того, что случайная величина ( X ) принимает значение, меньшее или равное ( x ). Функция плотности вероятности (или функция плотности распределения) ( f(x) ) связана с функцией распределения следующим образом:
[
f(x) = \frac{d}{dx}F(x)
]
Это означает, что для нахождения функции плотности вероятности в данной точке мы должны продифференцировать функцию распределения по ( x ).
Давайте разберем данную задачу шаг за шагом:
1. Определение функций
Функция распределения ( F(x) ) задана следующими частями:
- ( F(x) = 0 ) при ( x < 1 )
- ( F(x) = \frac{7}{3}x^2 ) при ( 1 \leq x \leq 4 )
- ( F(x) = 1 ) при ( x > 4 )
2. Нахождение производной
Поскольку мы ищем значение функции плотности вероятности ( f(x) ) в точке ( x = 3.5 ), мы видим, что это значение находится в пределах интервала ( [1, 4] ). Значит, мы будем дифференцировать ту часть функции, которая применяется в этом интервале:
[
F(x) = \frac{7}{3}x^2
]
Теперь найдем производную ( F(x) ):
[
f(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{7}{3}x^2\right) = \frac{7}{3} \cdot 2x = \frac{14}{3}x
]
3. Подстановка значения
Теперь подставим значение ( x = 3.5 ):
[
f(3.5) = \frac{14}{3} \cdot 3.5
]
Вычислим это выражение:
[
f(3.5) = \frac{14 \cdot 3.5}{3}
]
Чтобы упростить, можем сначала посчитать ( 14 \cdot 3.5 = 49 ):
[
f(3.5) = \frac{49}{3} \approx 16.33
]
4. Ответ
Таким образом, значение функции плотности распределения вероятности в точке 3.5 равно:
[
f(3.5) = \frac{49}{3} \quad \text{или примерно} \quad 16.33
]
Это и будет нашим окончательным ответом.
