Решите задачу. 18 баллов Введите ответ в предложенные ниже поля. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения: F ( x ) = { ㅤㅤ 0 , еслиㅤ x < 1 3 x 2 7 , еслиㅤ 1 ≤…

Для решения данной задачи мы будем использовать информацию о функции распределения \( F(x) \) случайной величины \( X \).

Согласно определению, функция распределения \( F(x) \) показывает вероятность того, что случайная величина \( X \) принимает значение, меньшее или равное \( x \). Функция плотности вероятности (или функция плотности распределения) \( f(x) \) связана с функцией распределения следующим образом:

\[ f(x) = \frac{d}{dx}F(x) \]

Это означает, что для нахождения функции плотности вероятности в данной точке мы должны продифференцировать функцию распределения по \( x \).

Давайте разберем данную задачу шаг за шагом:

1. Определение функций

Функция распределения \( F(x) \) задана следующими частями:

• \( F(x) = 0 \) при \( x < 1 \)
• \( F(x) = \frac{7}{3}x^2 \) при \( 1 \leq x \leq 4 \)
• \( F(x) = 1 \) при \( x > 4 \)

2. Нахождение производной

Поскольку мы ищем значение функции плотности вероятности \( f(x) \) в точке \( x = 3.5 \), мы видим, что это значение находится в пределах интервала \( [1, 4] \). Значит, мы будем дифференцировать ту часть функции, которая применяется в этом интервале:

\[ F(x) = \frac{7}{3}x^2 \]

Теперь найдем производную \( F(x) \):

\[ f(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{7}{3}x^2\right) = \frac{7}{3} \cdot 2x = \frac{14}{3}x \]

3. Подстановка значения

Теперь подставим значение \( x = 3.5 \):

\[ f(3.5) = \frac{14}{3} \cdot 3.5 \]

Вычислим это выражение:

\[ f(3.5) = \frac{14 \cdot 3.5}{3} \]

Чтобы упростить, можем сначала посчитать \( 14 \cdot 3.5 = 49 \):

\[ f(3.5) = \frac{49}{3} \approx 16.33 \]

4. Ответ

Таким образом, значение функции плотности распределения вероятности в точке 3.5 равно:

\[ f(3.5) = \frac{49}{3} \quad \text{или примерно} \quad 16.33 \]

Это и будет нашим окончательным ответом.