Для решения данной задачи нам нужно найти нормирующую константу ( C ) для плотности вероятности ( f(x) ). Плотность вероятности должна удовлетворять следующему условию:
[
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) , dx = 1
]
Для нашей плотности распределения ( f(x) ) эта формула сводится к интегрированию на интервале от 3 до 7, так как вне этого интервала плотность равна нулю.
Шаг 1: Установим интеграл
В нашем случае:
[
f(x) = Cx \text{ для } x \in [3; 7)
]
Таким образом, интеграл будет выглядеть так:
[
\int_{3}^{7} Cx , dx = 1
]
Шаг 2: Вычислим интеграл
Теперь вычислим этот интеграл:
[
C \int_{3}^{7} x , dx
]
Интеграл ( \int x , dx ) равен ( \frac{x^2}{2} ), следовательно:
[
\int_{3}^{7} x , dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{3}^{7} = \frac{7^2}{2} - \frac{3^2}{2} = \frac{49}{2} - \frac{9}{2} = \frac{40}{2} = 20
]
Шаг 3: Подставим в уравнение
Теперь подставим это значение в равенство:
[
C \cdot 20 = 1
]
Шаг 4: Найдем ( C )
Решим это уравнение для ( C ):
[
C = \frac{1}{20}
]
Ответ
Константа ( C ) равна ( \frac{1}{20} ).
Если записывать ответ в виде десятичной дроби, то:
[
C = 0.05
]
Таким образом, ответ: 0.05.
