зпишите число в треганометрической форме Z=-3+3i

Чтобы записать комплексное число \( Z = -3 + 3i \) в тригонометрической форме, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем этот процесс подробно.

Шаг 1: Определение модуля комплексного числа

Модуль \( |Z| \) комплексного числа \( Z = x + yi \) (где \( x \) и \( y \) — действительная и мнимая части соответственно) вычисляется по формуле:

\[ |Z| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

В нашем случае:

• \( x = -3 \)
• \( y = 3 \)

Подставим значения:

\[ |Z| = \sqrt{(-3)^2 + (3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]

Шаг 2: Определение аргумента комплексного числа

Аргумент \( \theta \) комплексного числа определяется как:

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \]

В нашем случае:

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{-3}\right) = \tan^{-1}(-1) \]

Значение \( \tan^{-1}(-1) \) — это угловое значение, равное \( -\frac{\pi}{4} \) радиан. Однако, нам нужно учесть, что наше число находится во второй квадранте (так как \( x < 0 \) и \( y > 0 \)). Поэтому аргумент в этом случае будет:

\[ \theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \]

Шаг 3: Запись комплексного числа в тригонометрической форме

Теперь мы можем записать комплексное число \( Z \) в тригонометрической форме:

\[ Z = |Z|(\cos \theta + i \sin \theta) \]

Подставим найденные значения модуля и аргумента:

\[ Z = 3\sqrt{2} \left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right) \]

Вывод

Тригонометрическая форма комплексного числа \( Z = -3 + 3i \) будет:

\[ Z = 3\sqrt{2} \left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right) \]

И это и есть окончательный ответ.