Зпишите число в треганометрической форме Z=-3+3i

Чтобы записать комплексное число \( Z = -3 + 3i \) в тригонометрической форме, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем этот процесс подробно. ### Шаг 1: Определение модуля комплексного числа Модуль \( |Z| \) комплексного числа \( Z = x + yi \) (где \( x \) и \( y \) — действительная и мнимая части соответственно) вычисляется по формуле: \[ |Z| = \sqrt{x^2 + y^2} \] В нашем случае: - \( x = -3 \) - \( y = 3 \) Подставим значения: \[ |Z| = \sqrt{(-3)^2 + (3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] ### Шаг 2: Определение аргумента комплексного числа Аргумент \( \theta \) комплексного числа определяется как: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \] В нашем случае: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{-3}\right) = \tan^{-1}(-1) \] Значение \( \tan^{-1}(-1) \) — это угловое значение, равное \( -\frac{\pi}{4} \) радиан. Однако, нам нужно учесть, что наше число находится во второй квадранте (так как \( x < 0 \) и \( y > 0 \)). Поэтому аргумент в этом случае будет: \[ \theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \] ### Шаг 3: Запись комплексного числа в тригонометрической форме Теперь мы можем записать комплексное число \( Z \) в тригонометрической форме: \[ Z = |Z|(\cos \theta + i \sin \theta) \] Подставим найденные значения модуля и аргумента: \[ Z = 3\sqrt{2} \left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right) \] ### Вывод Тригонометрическая форма комплексного числа \( Z = -3 + 3i \) будет: \[ Z = 3\sqrt{2} \left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right) \] И это и есть окончательный ответ.