Прибор состоит из 6 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что за некоторое время…

Для решения задачи используем биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество независимых испытаний (в данном случае 6 узлов), каждый из которых может завершиться в успехе (узел работает) или неудаче (узел вышел из строя).

Обозначим:

• \( n = 6 \) (общее количество узлов),
• \( k = 2 \) (количество узлов, вышедших из строя),
• \( p = 0.2 \) (вероятность выхода узла из строя, т.к. \( 1 - 0.8 = 0.2 \)),
• \( q = 0.8 \) (вероятность безотказной работы узла).

Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, определяемый как:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Теперь подставим наши значения:

1. Найдём биномиальный коэффициент \( C(6, 2) \):

\[ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \]

2. Теперь вычислим вероятность:

\[ P(X = 2) = C(6, 2) \cdot (0.2)^2 \cdot (0.8)^{6-2} \]

\[ P(X = 2) = 15 \cdot (0.2)^2 \cdot (0.8)^4 \]

\[ P(X = 2) = 15 \cdot 0.04 \cdot 0.4096 \]

Теперь умножим:

\[ P(X = 2) = 15 \cdot 0.04 = 0.6 \]

\[ 0.6 \cdot 0.4096 = 0.24576 \]

Таким образом, вероятность того, что за некоторое время выйдут из строя 2 узла, составляет:

\[ P(X = 2) \approx 0.2458 \]

Таким образом, вероятность того, что за некоторое время откажут 2 узла, примерно равна 0.2458 или 24.58%.