Для решения задачи используем биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество независимых испытаний (в данном случае 6 узлов), каждый из которых может завершиться в успехе (узел работает) или неудаче (узел вышел из строя).
Обозначим:
- ( n = 6 ) (общее количество узлов),
- ( k = 2 ) (количество узлов, вышедших из строя),
- ( p = 0.2 ) (вероятность выхода узла из строя, т.к. ( 1 - 0.8 = 0.2 )),
- ( q = 0.8 ) (вероятность безотказной работы узла).
Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где ( C(n, k) ) — это биномиальный коэффициент, определяемый как:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Теперь подставим наши значения:
- Найдём биномиальный коэффициент ( C(6, 2) ):
[
C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15
]
- Теперь вычислим вероятность:
[
P(X = 2) = C(6, 2) \cdot (0.2)^2 \cdot (0.8)^{6-2}
]
[
P(X = 2) = 15 \cdot (0.2)^2 \cdot (0.8)^4
]
[
P(X = 2) = 15 \cdot 0.04 \cdot 0.4096
]
Теперь умножим:
[
P(X = 2) = 15 \cdot 0.04 = 0.6
]
[
0.6 \cdot 0.4096 = 0.24576
]
Таким образом, вероятность того, что за некоторое время выйдут из строя 2 узла, составляет:
[
P(X = 2) \approx 0.2458
]
Таким образом, вероятность того, что за некоторое время откажут 2 узла, примерно равна 0.2458 или 24.58%.
