Через сколько лет сумма вклада по сложной процентной ставке 8% годовых вырастет с 10 000 рублей до 20 000 рублей?
Для решения задачи о росте вклада по сложной процентной ставке используем формулу сложных процентов:
\[ A = P(1 + r)^t \]
где:
- \( A \) — конечная сумма вклада,
- \( P \) — первоначальная сумма вклада (начальный капитал),
- \( r \) — годовая процентная ставка (в десятичном виде),
- \( t \) — количество лет, на которое делается вклад.
В данной задаче:
- \( A = 20000 \) рублей (конечная сумма),
- \( P = 10000 \) рублей (начальная сумма),
- \( r = 0.08 \) (процентная ставка 8% в десятичном виде).
Теперь подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно \( t \):
\[ 20000 = 10000(1 + 0.08)^t \]
Сначала упростим уравнение:
\[ 20000 = 10000(1.08)^t \]
Теперь разделим обе стороны на 10000:
\[ 2 = (1.08)^t \]
Чтобы найти \( t \), воспользуемся логарифмами. Применим логарифм по основанию 10 (или натуральный):
\[ \log(2) = t \log(1.08) \]
Теперь выразим \( t \):
\[ t = \frac{\log(2)}{\log(1.08)} \]
Теперь можно вычислить значения логарифмов.
- \( \log(2) \approx 0.3010 \)
- \( \log(1.08) \approx 0.0334 \)
Теперь подставим эти значения:
\[ t \approx \frac{0.3010}{0.0334} \approx 9.0 \]
Таким образом, \( t \approx 9 \) лет.
Ответ:
Сумма вклада вырастет с 10 000 рублей до 20 000 рублей через примерно 9 лет при сложной процентной ставке 8% годовых.
