Чтобы решить задачу о вероятности того, что оба спортсмена из одной страны окажутся в одной группе, давайте разложим все шаги.
Шаг 1: Определение условий задачи
У нас есть:
- 64 спортсмена из 32 стран, по 2 спортсмена от страны.
- Спортсмены распределяются по группам по 4 человека.
Это значит, что всего будет ( \frac{64}{4} = 16 ) групп.
Шаг 2: Определение числа способов выбрать группу
Сначала найдем общее количество способов выбрать 4 спортсменов из 64. Это число можно найти с помощью комбинаций:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
В нашем случае ( n = 64 ) и ( k = 4 ):
[
C(64, 4) = \frac{64!}{4!(64-4)!} = \frac{64 \times 63 \times 62 \times 61}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 341,056
]
Шаг 3: Определение числа благоприятных исходов
Теперь найдем количество способов выбрать 4 спортсменов, чтобы оба спортсмена из одной страны оказались в этой группе. Мы можем выбрать страну, из которой будут спортсмены, и затем выбрать 2 спортсмена из этой страны и 2 спортсмена из других стран.
- Выбор страны: ( 32 ) способа.
- Выбор 2 участников из этой страны: ( C(2, 2) = 1 ) (поскольку только 2 человека из каждой страны).
- Выбор 2 спортсменов из оставшихся 62 спортсменов (из 31 страны): ( C(62, 2) = \frac{62!}{2!(62-2)!} = \frac{62 \times 61}{2 \times 1} = 1,891 ).
Теперь перемножим все эти возможности:
[
32 \times 1 \times 1,891 = 60,512
]
Шаг 4: Нахождение вероятности
Теперь мы можем найти вероятность того, что оба спортсмена из одной страны окажутся в одной группе. Вероятность рассчитывается как количество благоприятных исходов, деленное на общее количество исходов:
[
P = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{60,512}{341,056}
]
Шаг 5: Упрощение и расчет
Теперь мы можем упростить дробь:
[
P \approx 0.1770
]
Или в процентах:
[
P \approx 17.70%
]
Ответ
Вероятность того, что оба спортсмена из одной страны окажутся в одной группе, составляет примерно 17.70%.
