(x-2)(x+5)(x+6)>0

Решим неравенство \((x-2)(x+5)(x+6) > 0\) шаг за шагом.

Шаг 1: Нахождение корней

Сначала найдем корни уравнения \((x-2)(x+5)(x+6) = 0\):

1. \(x - 2 = 0\) → \(x = 2\)
2. \(x + 5 = 0\) → \(x = -5\)
3. \(x + 6 = 0\) → \(x = -6\)

Корни: \(x = -6\), \(x = -5\) и \(x = 2\).

Шаг 2: Определение интервалов

Теперь определим интервалы, на которых будем проверять знак произведения:

1. \((-∞, -6)\)
2. \((-6, -5)\)
3. \((-5, 2)\)
4. \((2, +∞)\)

Шаг 3: Проверка знака на каждом интервале

Теперь проверим знак выражения \((x-2)(x+5)(x+6)\) на каждом интервале:

1. Интервал \((-∞, -6)\):

   • Выберем точку, например, \(x = -7\):
   • \(((-7)-2)((-7)+5)((-7)+6) = (-9)(-2)(-1) = -18 < 0\)

2. Интервал \((-6, -5)\):

   • Выберем точку, например, \(x = -5.5\):
   • \(((-5.5)-2)((-5.5)+5)((-5.5)+6) = (-7.5)(-0.5)(0.5) = 1.875 > 0\)

3. Интервал \((-5, 2)\):

   • Выберем точку, например, \(x = 0\):
   • \((0-2)(0+5)(0+6) = (-2)(5)(6) = -60 < 0\)

4. Интервал \((2, +∞)\):

   • Выберем точку, например, \(x = 3\):
   • \((3-2)(3+5)(3+6) = (1)(8)(9) = 72 > 0\)

Шаг 4: Сбор информации о знаках

Теперь у нас есть информация о знаках на интервалах:

• \((-∞, -6)\) : знак отрицательный.
• \((-6, -5)\) : знак положительный.
• \((-5, 2)\) : знак отрицательный.
• \((2, +∞)\) : знак положительный.

Шаг 5: Итоговое решение

Нам нужно решить неравенство \((x-2)(x+5)(x+6) > 0\), поэтому смотрим, на каких интервалах у нас положительный знак:

• \((-6, -5)\) и \((2, +∞)\).

Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (-6, -5) \cup (2, +∞) \]

Ответ: \(x \in (-6, -5) \cup (2, +∞)\)