Реши уравнение x 3 + 2 x 2 = 32 + 16 x x 3 +2x 2 =32+16x . В ответе запиши корни в порядке возрастания без пробелов, запятых и других символов. Пример записи: если x 1 = 2 x 1 ​…

Чтобы решить уравнение \( x^3 + 2x^2 = 32 + 16x \), начнем с приведения его к стандартному виду. Для этого перенесем все члены в одну сторону:

\[ x^3 + 2x^2 - 16x - 32 = 0 \]

Теперь у нас есть кубическое уравнение. Давайте попробуем найти корни.

1. Используем метод подбора

Попробуем найти целые корни с помощью деления, подбирая значения \( x \):

• При \( x = -4 \): \[ (-4)^3 + 2(-4)^2 - 16(-4) - 32 = -64 + 32 + 64 - 32 = 0 \] Таким образом, \( x = -4 \) является корнем уравнения.

2. Делим многочлен

Теперь мы найдём другие корни, используя деление многочлена на \( x + 4 \) (так как один корень -4):

Используем синтетическое деление:

    -4 |  1   2   -16   -32
       |       -4    8    32
       ---------------------
         1  -2   -8   0

Остаток 0 подтверждает, что \( x + 4 \) — делитель. Получили \( x^2 - 2x - 8 \).

3. Решим полученное квадратное уравнение

Теперь решим \( x^2 - 2x - 8 = 0 \) с помощью формулы корней:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Подставляем \( a = 1, b = -2, c = -8 \):

\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 6}{2} \]

Теперь находим два корня:

1. \( x = \frac{8}{2} = 4 \)
2. \( x = \frac{-4}{2} = -2 \)

4. Корни уравнения

Теперь у нас есть три корня:

• \( x_1 = -4 \)
• \( x_2 = -2 \)
• \( x_3 = 4 \)

Сортируем их в порядке возрастания: \(-4, -2, 4\).

5. Записываем ответ

Корни уравнения в порядке возрастания без пробелов и других символов:

Ответ: -42