Для решения системы уравнений методом подстановки, давайте начнем с заданных уравнений:
- ( x - y = 4 ) (Уравнение 1)
- ( x^2 + y^2 = 8 ) (Уравнение 2)
Шаг 1: Извлечем одну переменную из первого уравнения
Из Уравнения 1 ( x - y = 4 ) выразим ( y ):
[
y = x - 4
]
Шаг 2: Подставим выражение для ( y ) во второе уравнение
Теперь подставим это значение ( y ) во Уравнение 2:
[
x^2 + (x - 4)^2 = 8
]
Раскроем скобки:
[
x^2 + (x^2 - 8x + 16) = 8
]
Шаг 3: Упростим уравнение
Соберем все термины вместе:
[
2x^2 - 8x + 16 = 8
]
Переносим 8 на левую сторону:
[
2x^2 - 8x + 8 = 0
]
Шаг 4: Упростим уравнение
Можно упростить уравнение, разделив все его коэффициенты на 2:
[
x^2 - 4x + 4 = 0
]
Шаг 5: Найдем корни уравнения
Это квадратное уравнение можно решить методом нахождения корней. Уравнение можно разложить:
[
(x - 2)^2 = 0
]
Отсюда:
[
x - 2 = 0 \implies x = 2
]
Шаг 6: Находим ( y )
Теперь подставим найденное значение ( x ) обратно в выражение для ( y ):
[
y = x - 4 = 2 - 4 = -2
]
Ответ
Таким образом, мы получили решение системы уравнений:
[
x = 2, \quad y = -2
]
Шаг 7: Проверка
Для уверенности давайте проверим, удовлетворяют ли найденные значения обоим уравнениям:
Подставим в Уравнение 1:
[
2 - (-2) = 2 + 2 = 4 \quad \text{(верно)}
]
Подставим в Уравнение 2:
[
2^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8 \quad \text{(верно)}
]
Таким образом, решение верное. Готовы ли вы рассмотреть что-то еще?
