Для решения задачи, давайте начнем с формулирования условия.
Мы имеем:
- Кубический металлический объект с длиной стороны ( a = 45 ) см (или ( 0.45 ) м).
- Плотность металла ( \rho_{metal} = 7100 ) кг/м³.
- Плотность ртути ( \rho_{Hg} = 13600 ) кг/м³.
- Плотность жидкости ( \rho_{liquid} = 1030 ) кг/м³.
- Ускорение свободного падения ( g = 10 ) м/с².
Шаг 1: Вычислим объем куба
Объем куба ( V ) можно найти по формуле:
[
V = a^3
]
Подставим значение ( a ):
[
V = (0.45 , \text{м})^3 = 0.045125 , \text{м}^3
]
Шаг 2: Находим массу куба
Массу металлического куба ( m ) можно найти, используя плотность:
[
m = \rho_{metal} \cdot V
]
Подставим значения:
[
m = 7100 , \text{кг/м}^3 \cdot 0.045125 , \text{м}^3 \approx 320.17 , \text{кг}
]
Шаг 3: Находим подъемную силу
Подъемная сила ( F_b ), действующая на куб, равна весу вытесненной ртутью жидкости:
[
F_b = \rho_{Hg} \cdot g \cdot V_{displaced}
]
Где ( V_{displaced} ) — объем ртути, вытесненной кубом. Поскольку куб плавает, объем, который он вытесняет, равен его собственному объему ( V ):
[
F_b = \rho_{Hg} \cdot g \cdot V
]
[
F_b = 13600 , \text{кг/м}^3 \cdot 10 , \text{м/с}^2 \cdot 0.045125 , \text{м}^3 \approx 6136.43 , \text{Н}
]
Шаг 4: Находим вес куба
Вес куба, действующий вниз:
[
F_g = m \cdot g
]
[
F_g = 320.17 , \text{кг} \cdot 10 , \text{м/с}^2 \approx 3201.7 , \text{Н}
]
Шаг 5: Находим высоту столба жидкости
Согласно принципу Archimedean, при равновесии:
[
F_b = F_g + F_{liquid}
]
Для жидкостей, действующих на верхнюю часть куба (высота ( h )):
[
F_{liquid} = \rho_{liquid} \cdot g \cdot h \cdot A,
]
где ( A ) — площадь основания куба:
[
A = a^2 = (0.45 , \text{м})^2 = 0.2025 , \text{м}^2
]
Подставим ( F_g ):
[
6136.43 , \text{Н} = 3201.7 , \text{Н} + \rho_{liquid} \cdot g \cdot h \cdot A
]
[
6136.43 - 3201.7 = \rho_{liquid} \cdot g \cdot h \cdot A
]
[
2934.73 = 1030 \cdot 10 \cdot h \cdot 0.2025
]
[
2934.73 = 20885 \cdot h
]
[
h = \frac{2934.73}{20885} \approx 0.1404 , \text{м} \text{ или } 14.04 \text{ см}
]
Результат:
Высота столба налитой в сосуд жидкости составляет aproximadamente ( 14.04 , \text{см} ).
