Рассмотрим треугольник ABC, в котором угол C равен 90°. Это означает, что треугольник является прямоугольным, и мы можем применять основы тригонометрии.
Дано:
- Угол C = 90°
- cos(B) = 4/7
- Длина стороны AB (гипотенуза) = 21
Мы ищем длину стороны BC.
Шаг 1: Определим стороны треугольника.
В прямоугольном треугольнике ABC:
- AB — гипотенуза
- BC — противолежащая сторона углу B
- AC — прилежащая сторона углу B
Мы знаем, что косинус угла B определяется как отношение длины прилежащей стороны к длине гипотенузы. Это можно записать как:
[
\cos(B) = \frac{AC}{AB}
]
Шаг 2: Подставим известные значения в формулу:
[
\frac{4}{7} = \frac{AC}{21}
]
Шаг 3: Умножим обе стороны уравнения на 21:
[
AC = \frac{4}{7} \cdot 21 = 12
]
Теперь мы знаем, что длина стороны AC равна 12.
Шаг 4: Используем теорему Пифагора для нахождения стороны BC. В прямоугольном треугольнике выполняется следующее соотношение:
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]
Подставим известные значения:
[
21^2 = 12^2 + BC^2
]
[
441 = 144 + BC^2
]
Шаг 5: Выразим BC^2:
[
BC^2 = 441 - 144
]
[
BC^2 = 297
]
Шаг 6: Теперь найдем BC, извлекая квадратный корень:
[
BC = \sqrt{297}
]
Шаг 7: Упростим √297. Поскольку 297 = 3 × 99 = 3 × 3 × 11, мы можем упростить:
[
BC = 3\sqrt{11}
]
Таким образом, длина стороны BC равна ( 3\sqrt{11} ).
Итоговый ответ: Длина стороны BC в треугольнике ABC равна ( 3\sqrt{11} ).
