проведено 500 испытаний Бернулли 0,8 составил вероятность успешного испытания для каждого случая оцените вероятность того что в пределах проведенных испытаниях разница между…

Для решения этой задачи мы будем использовать понятие закона больших чисел и свойства распределения. Основные шаги решения приведены ниже:

Дано:

• Число испытаний (n) = 500
• Вероятность успеха (p) = 0.8
• Вероятность неудачи (q) = 1 - p = 0.2

1. Находим среднее число успехов (μ)

Среднее число успехов (математическое ожидание) в n испытаниях вычисляется по формуле: \[ \mu = n \cdot p \]

Подставляем значения: \[ \mu = 500 \cdot 0.8 = 400 \]

2. Находим дисперсию (σ²)

Дисперсия (variance) для распределения Бернулли вычисляется по формуле: \[ \sigma^2 = n \cdot p \cdot q \]

Где \( q = 1 - p \). Теперь подставим значения: \[ \sigma^2 = 500 \cdot 0.8 \cdot 0.2 \] \[ \sigma^2 = 500 \cdot 0.16 = 80 \]

Теперь найдем стандартное отклонение (σ): \[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{80} \approx 8.94 \]

3. Находим верхнюю и нижнюю границы для числа успехов

Задача требует оценить вероятность того, что разница между числом успехов (X) и средним числом успехов не превышает определенного значения. Например, пусть мы хотим оценить вероятность того, что: \[ |X - \mu| < k \] где \( k \) — некоторая величина.

4. Применение нормального распределения

По центральной предельной теореме, если n велико, то распределение суммы случайных величин (число успехов в нашем случае) приближается к нормальному. Поэтому: \[ X \sim N(\mu, \sigma^2) \] где N — нормальное распределение.

5. Вероятность

Чтобы оценить вероятность того, что разница между числом успехов и средним значением находится в пределах k, можно использовать стандартные нормальные таблицы.

• Например, если мы хотим найти вероятность того, что число успехов отличается от среднего значения не более чем на 10, мы вычислим: \[ P(390 < X < 410) \]

Дальше, чтобы использовать стандартную нормальную таблицу, нам нужно стандартизировать значение: \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]

Для \( X = 390 \): \[ Z_1 = \frac{390 - 400}{8.94} \approx -1.12 \]

Для \( X = 410 \): \[ Z_2 = \frac{410 - 400}{8.94} \approx 1.12 \]

Теперь мы можем использовать таблицы стандартного нормального распределения, чтобы найти: \[ P(Z_1 < Z < Z_2) \]

Итог

На основе нормального распределения и значений Z мы можем найти искомую вероятность. Фактические значения можно получить из таблицы стандартного нормального распределения или с помощью калькулятора. Значения, соответствующие Z-значениям, в общем случае будут:

• Для Z ≈ -1.12: около 0.1314 (или 13.14%)
• Для Z ≈ 1.12: около 0.8686 (или 86.86%)

Или, \[ P(390 < X < 410) \approx 0.8686 - 0.1314 = 0.7372 \]

То есть, вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов будет менее 10, составляет примерно 73.72%.

Заключение

Таким образом, мы оценили вероятность. Если есть еще вопросы по данной теме или требуется более простое объяснение, не стесняйтесь спрашивать!