Проведено 500 испытаний Бернулли 0,8 составил вероятность успешного испытания для каждого случая оцените вероятность того что в пределах проведенных испытаниях разница между числом успехов и средним числом успехов

Для решения этой задачи мы будем использовать понятие закона больших чисел и свойства распределения. Основные шаги решения приведены ниже: ### Дано: - Число испытаний (n) = 500 - Вероятность успеха (p) = 0.8 - Вероятность неудачи (q) = 1 - p = 0.2 ### 1. Находим среднее число успехов (μ) Среднее число успехов (математическое ожидание) в n испытаниях вычисляется по формуле: \[ \mu = n \cdot p \] Подставляем значения: \[ \mu = 500 \cdot 0.8 = 400 \] ### 2. Находим дисперсию (σ²) Дисперсия (variance) для распределения Бернулли вычисляется по формуле: \[ \sigma^2 = n \cdot p \cdot q \] Где \( q = 1 - p \). Теперь подставим значения: \[ \sigma^2 = 500 \cdot 0.8 \cdot 0.2 \] \[ \sigma^2 = 500 \cdot 0.16 = 80 \] Теперь найдем стандартное отклонение (σ): \[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{80} \approx 8.94 \] ### 3. Находим верхнюю и нижнюю границы для числа успехов Задача требует оценить вероятность того, что разница между числом успехов (X) и средним числом успехов не превышает определенного значения. Например, пусть мы хотим оценить вероятность того, что: \[ |X - \mu| < k \] где \( k \) — некоторая величина. ### 4. Применение нормального распределения По центральной предельной теореме, если n велико, то распределение суммы случайных величин (число успехов в нашем случае) приближается к нормальному. Поэтому: \[ X \sim N(\mu, \sigma^2) \] где N — нормальное распределение. ### 5. Вероятность Чтобы оценить вероятность того, что разница между числом успехов и средним значением находится в пределах k, можно использовать стандартные нормальные таблицы. - Например, если мы хотим найти вероятность того, что число успехов отличается от среднего значения не более чем на 10, мы вычислим: \[ P(390 < X < 410) \] Дальше, чтобы использовать стандартную нормальную таблицу, нам нужно стандартизировать значение: \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \] Для \( X = 390 \): \[ Z_1 = \frac{390 - 400}{8.94} \approx -1.12 \] Для \( X = 410 \): \[ Z_2 = \frac{410 - 400}{8.94} \approx 1.12 \] Теперь мы можем использовать таблицы стандартного нормального распределения, чтобы найти: \[ P(Z_1 < Z < Z_2) \] ### Итог На основе нормального распределения и значений Z мы можем найти искомую вероятность. Фактические значения можно получить из таблицы стандартного нормального распределения или с помощью калькулятора. Значения, соответствующие Z-значениям, в общем случае будут: - Для Z ≈ -1.12: около 0.1314 (или 13.14%) - Для Z ≈ 1.12: около 0.8686 (или 86.86%) Или, \[ P(390 < X < 410) \approx 0.8686 - 0.1314 = 0.7372 \] То есть, вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов будет менее 10, составляет примерно 73.72%. ### Заключение Таким образом, мы оценили вероятность. Если есть еще вопросы по данной теме или требуется более простое объяснение, не стесняйтесь спрашивать!