Давайте разберем задачу шаг за шагом, чтобы понять, как найти координаты и длину вектора ( \mathbf{a} ).
Дано:
Вектор ( \mathbf{a} ) задается выражением:
[
\mathbf{a} = \frac{1}{3} \mathbf{m} - \mathbf{n}
]
Где:
- ( \mathbf{m} = \begin{pmatrix} -3 \ 6 \end{pmatrix} )
- ( \mathbf{n} = \begin{pmatrix} 2 \ -2 \end{pmatrix} )
Шаг 1: Найдем вектор ( \frac{1}{3} \mathbf{m} )
Для вычисления ( \frac{1}{3} \mathbf{m} ), нужно каждую компоненту вектора ( \mathbf{m} ) умножить на ( \frac{1}{3} ):
[
\frac{1}{3} \mathbf{m} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -3 \ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-3}{3} \ \frac{6}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \ 2 \end{pmatrix}
]
Шаг 2: Вычислим вектор ( \mathbf{a} )
Теперь можем найти вектор ( \mathbf{a} ) по формуле:
[
\mathbf{a} = \frac{1}{3} \mathbf{m} - \mathbf{n} = \begin{pmatrix} -1 \ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \ -2 \end{pmatrix}
]
Чтобы выполнить это вычитание векторов, вычитаем соответствующие компоненты:
[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} -1 - 2 \ 2 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \ 2 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \ 4 \end{pmatrix}
]
Шаг 3: Найдем длину вектора ( \mathbf{a} )
Длина вектора ( \mathbf{a} ) вычисляется по формуле:
[
|\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
]
где ( a_1 ) и ( a_2 ) — компоненты вектора ( \mathbf{a} ).
Подставляем значения:
[
|\mathbf{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
]
Ответ:
- Координаты вектора ( \mathbf{a} ): ( \begin{pmatrix} -3 \ 4 \end{pmatrix} )
- Длина вектора ( \mathbf{a} ): ( 5 )
Если у вас остались вопросы по этой задаче, не стесняйтесь спрашивать!
