1. Точка О является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину A, равен 1,5. Найдите площадь квадрата ABCD.
Для начала давайте разберем задачу пошагово и определим, что нам нужно сделать.
Обозначим точки квадрата: Пусть квадрат ABCD имеет вершины A, B, C, D, расположенные в следующем порядке:
- A находится в (0, 0)
- B находится в (a, 0)
- C находится в (a, a)
- D находится в (0, a)
Здесь \(a\) — это длина стороны квадрата ABCD.
Определение точки O: Согласно условию, точка O является серединой стороны CD. Следовательно, координаты точки O будут: \[ O = \left(\frac{0 + a}{2}, a\right) = \left(\frac{a}{2}, a\right) \]
Радиус окружности: Дано, что радиус окружности с центром в точке O, которая проходит через вершину A, равен 1,5. Значит, расстояние AO равно радиусу. Мы можем выразить это расстояние с помощью формулы: \[ AO = \sqrt{(x_O - x_A)^2 + (y_O - y_A)^2} \] Подставим координаты точек: \[ AO = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(a - 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2} \]
Упростим это выражение: \[ AO = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{4a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2} \]
Уравнение для радиуса: Из условия задачи известно, что это расстояние равно радиусу 1,5: \[ \frac{a\sqrt{5}}{2} = 1.5 \]
Решим уравнение для a: Умножим обе стороны уравнения на 2: \[ a\sqrt{5} = 3 \] Теперь разделим обе стороны на \(\sqrt{5}\): \[ a = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \]
Найдем площадь квадрата: Площадь квадрата S можно найти по формуле \(S = a^2\): \[ S = \left(\frac{3\sqrt{5}}{5}\right)^2 = \frac{9 \cdot 5}{25} = \frac{45}{25} = 1.8 \]
Таким образом, площадь квадрата ABCD равна 1,8 квадратных единиц.
