Луч света падает под углом α=450 из воздуха в вершину K стеклянного куба с ребром 400 миллиметров. Найдите расстояние DC, на которое сместится преломленный луч от левой грани…

Для решения задачи о преломлении света воспользуемся законом Снелла и некоторыми геометрическими свойствами.

Шаг 1: Определение исходных данных

• Угол падения (α): 45°
• Ребро куба (a): 400 мм
• Показатель преломления стекла (n2): 1,5
• Показатель преломления воздуха (n1): примерно 1,0 (для упрощения расчетов).

Шаг 2: Применение закона Снелла

Закон Снелла гласит: \[ n_1 \cdot \sin(α) = n_2 \cdot \sin(β) \]

Где:

• \( α \) — угол падения
• \( β \) — угол преломления

Подставим известные значения: \[ 1,0 \cdot \sin(45°) = 1,5 \cdot \sin(β) \]

Значение \( \sin(45°) \) равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \). Подставляем: \[ 1,0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1,5 \cdot \sin(β) \]

Шаг 3: Решение уравнения

Преобразуем уравнение: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = 1,5 \cdot \sin(β) \] \[ \sin(β) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 1,5} = \frac{\sqrt{2}}{3} \]

Теперь найдем угол \( β \): \[ β = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right) \]

Шаг 4: Найдем расстояние DC

Поскольку луч преломился, теперь он будет проходить через куб. Предположим, что луч падает на верхнюю грань куба и выходит через один из боковых граней. Нам нужно найти смещение от левой грани куба (расстояние DC).

1. Найдём путь, который пройдет луч внутри куба, прежде чем выйти через боковую грань. Разберёмся с треугольником:
   • Высота H (или толщина куба) = 400 мм.
   • Угол β:.

Используя тригонометрические соотношения в преломлённом луче, можем сказать, что: \[ x = H \cdot \tan(β) \] где \( x \) — смещение от левой грани в момент выхода луча.

Шаг 5: Подсчет

Теперь подставим 400 мм в уравнение: \[ x = 400 \cdot \tan(β) \]

Но сначала нам нужен \( β \) в радианах:

• \( β \) можно вычислить через значение \( \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right) \), что даёт угол примерно 0.4636 радиан.
• Теперь, используя \( \tan(β) \): \[ \tan(β) \approx \frac{\sin(β)}{\cos(β)} \]

Для вычисления \( \cos(β) \) рядышком: \[ \cos(β) = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{9}} = \sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3} \]

Теперь \( \tan(β) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{\frac{\sqrt{7}}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{2}{7}} \).

Теперь можем найти смещение: \[ x = 400 \cdot \sqrt{\frac{2}{7}} \approx 400 \cdot 0.5345 \approx 213.8 \text{ мм} \]

Шаг 6: Округление

Ответ, округленный до целого числа: \[ \text{Ответ: } DC \approx 214 \text{ мм} \]

Таким образом, расстояние, на которое сместится преломленный луч от левой грани куба, составляет 214 мм.