Чтобы решить систему уравнений способом сложения (или сокращения), мы должны сначала привести уравнения к удобному виду и сделать так, чтобы один из коэффициентов при переменной в одном из уравнений можно было легко убрать.
Вот наша система уравнений:
- ( 5x - 2y = 1 )
- ( 15x + 3y = 3 )
Шаг 1: Приведение уравнений к совместимым коэффициентам
Рассмотрим второе уравнение. Мы можем умножить первое уравнение на определённое число, чтобы коэффициенты при ( y ) стали одинаковыми, что позволит нам их сложить. Если мы умножим первое уравнение на ( 3 ), то получим:
[
3(5x - 2y) = 3 \cdot 1
]
Таким образом, первое уравнение станет:
[
15x - 6y = 3
]
Теперь наша система выглядит так:
- ( 15x - 6y = 3 )
- ( 15x + 3y = 3 )
Шаг 2: Выразим систему для сложения
Теперь мы можем вычесть второе уравнение из первого:
[
(15x - 6y) - (15x + 3y) = 3 - 3
]
Это упростится следующим образом:
[
15x - 6y - 15x - 3y = 0
]
Что приводит к:
[
-9y = 0
]
Шаг 3: Решение для ( y )
Теперь решим для ( y ):
[
y = 0
]
Шаг 4: Подстановка значения ( y ) в одно из уравнений
Теперь подставим значение ( y = 0 ) в одно из первоначальных уравнений, например, в первое:
[
5x - 2(0) = 1
]
То есть:
[
5x = 1
]
Решим для ( x ):
[
x = \frac{1}{5}
]
Итог
Таким образом, система уравнений имеет единственное решение:
[
x = \frac{1}{5}, \quad y = 0
]
Окончательный ответ: ( (x, y) = \left(\frac{1}{5}, 0\right) ).
