74. В треугольнике ABC даны < A = 90°, B = 60°, АС - 9. Найдите сторону АВ. Решение. По условию задачи 24 - -, следовательно, отрезок АС- катет, противолежащий углу -, и требуется найти катет, при- лежащий к углу Отношение катета, противолежащего углу В, и катета, прилежа- угла в, следователь- щего к этому углу, есть AC но, AB Ответ. Отсюда АВ = АС : - : tg 60° = 75. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен с. Выразите катеты через с и а и найдите их длины, если: a) c 12 дм, а = 30°; б) c = 16 дм, α = 45°. Решение и длину Обозначим длину катета, противолежащего углу а, буквой а • прилежащего к углу а, буквой b. Отсюда получаем: а = с Тогда sina COS C C b= a) a = · sin 30° Подставляя числовые данные, получим: 95.0 ИСТА 111 пен b=. 6) a = b== Ответ. a) 6) (дм); (дм). (дм); (дм). 35

Для решения задачи о нахождении стороны треугольника и выражении катетов через гипотенузу, давайте разберём её по шагам. ### Задача 74 Дан прямоугольный треугольник \(ABC\) с углом \(A = 90^\circ\), углом \(B = 60^\circ\) и катетом \(AC = 9\). Найдите сторону \(AB\). #### Шаг 1: Определение данных - У нас есть прямоугольный треугольник, где: - \(A\) — прямой угол, - \(B = 60^\circ\), - \(C = 30^\circ\) (так как сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\)), - \(AC\) — катет, противолежащий углу \(B\). #### Шаг 2: Применение тригонометрии В прямоугольном треугольнике можно использовать тригонометрические функции для нахождения сторон. Отношение катета, противолежащего углу, и катета, прилежащего к углу можно выразить через тангенс: \[ \tan B = \frac{AC}{AB} \] Для угла \(B = 60^\circ\): \[ \tan 60^\circ = \sqrt{3} \] Таким образом, можно записать: \[ \sqrt{3} = \frac{9}{AB} \] #### Шаг 3: Выражение стороны \(AB\) Решим уравнение на \(AB\): \[ AB = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \] ### Ответ для задачи 74: \[ AB = 3\sqrt{3} \approx 5,2 \quad (\text{приблизительно}) \] --- ### Задача 75 В данной задаче нам нужно выразить катеты через гипотенузу \(c\) и угол \(\alpha\). #### a) Если \(c=12\) дм и \(\alpha = 30^\circ\): Обозначим: - \(a\) — катет, противолежащий углу \(\alpha\), - \(b\) — катет, прилежащий к углу \(\alpha\). Для нахождения катетов используем формулы: \[ a = c \cdot \sin \alpha \] \[ b = c \cdot \cos \alpha \] Подставляем значения: \[ a = 12 \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot 0.5 = 6 \text{ дм} \] \[ b = 12 \cdot \cos 30^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \approx 10.39 \text{ дм} \] #### Ответ a): - \(a = 6 \text{ дм}\) - \(b \approx 10.39 \text{ дм}\) #### b) Если \(c = 16\) дм и \(\alpha = 45^\circ\): Используем те же формулы: \[ a = 16 \cdot \sin 45^\circ = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} \approx 11.31 \text{ дм} \] \[ b = 16 \cdot \cos 45^\circ = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} \approx 11.31 \text{ дм} \] #### Ответ b): - \(a \approx 11.31 \text{ дм}\) - \(b \approx 11.31 \text{ дм}\) ### Полные ответы: - Для задачи 74: \(AB = 3\sqrt{3} \text{ или } 5.2\) дм (приблизительно). - Для задачи 75: - a) \(a = 6\) дм, \(b \approx 10.39\) дм. - b) \(a \approx 11.31\) дм, \(b \approx 11.31\) дм.