74. В треугольнике ABC даны < A = 90°, B = 60°, АС - 9. Найдите сторону АВ. Решение. По условию задачи 24 - -, следовательно, отрезок АС- катет, противолежащий углу -, и требуется…
74. В треугольнике ABC даны < A = 90°, B = 60°, АС - 9. Найдите сторону АВ. Решение. По условию задачи 24 - -, следовательно, отрезок АС- катет, противолежащий углу -, и требуется найти катет, при- лежащий к углу Отношение катета, противолежащего углу В, и катета, прилежа- угла в, следователь- щего к этому углу, есть AC но, AB Ответ. Отсюда АВ = АС : - : tg 60° = 75. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен с. Выразите катеты через с и а и найдите их длины, если: a) c 12 дм, а = 30°; б) c = 16 дм, α = 45°. Решение и длину Обозначим длину катета, противолежащего углу а, буквой а • прилежащего к углу а, буквой b. Отсюда получаем: а = с Тогда sina COS C C b= a) a = · sin 30° Подставляя числовые данные, получим: 95.0 ИСТА 111 пен b=. 6) a = b== Ответ. a) 6) (дм); (дм). (дм); (дм). 35
Для решения задачи о нахождении стороны треугольника и выражении катетов через гипотенузу, давайте разберём её по шагам.
Задача 74
Дан прямоугольный треугольник \(ABC\) с углом \(A = 90^\circ\), углом \(B = 60^\circ\) и катетом \(AC = 9\). Найдите сторону \(AB\).
Шаг 1: Определение данных
- У нас есть прямоугольный треугольник, где:
- \(A\) — прямой угол,
- \(B = 60^\circ\),
- \(C = 30^\circ\) (так как сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\)),
- \(AC\) — катет, противолежащий углу \(B\).
Шаг 2: Применение тригонометрии
В прямоугольном треугольнике можно использовать тригонометрические функции для нахождения сторон.
Отношение катета, противолежащего углу, и катета, прилежащего к углу можно выразить через тангенс: \[ \tan B = \frac{AC}{AB} \] Для угла \(B = 60^\circ\): \[ \tan 60^\circ = \sqrt{3} \] Таким образом, можно записать: \[ \sqrt{3} = \frac{9}{AB} \]
Шаг 3: Выражение стороны \(AB\)
Решим уравнение на \(AB\): \[ AB = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \]
Ответ для задачи 74:
\[ AB = 3\sqrt{3} \approx 5,2 \quad (\text{приблизительно}) \]
Задача 75
В данной задаче нам нужно выразить катеты через гипотенузу \(c\) и угол \(\alpha\).
a) Если \(c=12\) дм и \(\alpha = 30^\circ\):
Обозначим:
- \(a\) — катет, противолежащий углу \(\alpha\),
- \(b\) — катет, прилежащий к углу \(\alpha\).
Для нахождения катетов используем формулы: \[ a = c \cdot \sin \alpha \] \[ b = c \cdot \cos \alpha \]
Подставляем значения: \[ a = 12 \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot 0.5 = 6 \text{ дм} \] \[ b = 12 \cdot \cos 30^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \approx 10.39 \text{ дм} \]
Ответ a):
- \(a = 6 \text{ дм}\)
- \(b \approx 10.39 \text{ дм}\)
b) Если \(c = 16\) дм и \(\alpha = 45^\circ\):
Используем те же формулы: \[ a = 16 \cdot \sin 45^\circ = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} \approx 11.31 \text{ дм} \] \[ b = 16 \cdot \cos 45^\circ = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} \approx 11.31 \text{ дм} \]
Ответ b):
- \(a \approx 11.31 \text{ дм}\)
- \(b \approx 11.31 \text{ дм}\)
Полные ответы:
- Для задачи 74: \(AB = 3\sqrt{3} \text{ или } 5.2\) дм (приблизительно).
- Для задачи 75:
- a) \(a = 6\) дм, \(b \approx 10.39\) дм.
- b) \(a \approx 11.31\) дм, \(b \approx 11.31\) дм.
