Постройте графики функций и найдите координаты точек пересечения этих графиков y=x²-2x-8 и y=2x-3
Для решения задачи построения графиков функций \( y = x^2 - 2x - 8 \) и \( y = 2x - 3 \), а также нахождения координат точек их пересечения, следуйте пошаговым инструкциям.
Шаг 1: Найти точки пересечения графиков
Чтобы найти точки пересечения двух графиков, необходимо установить равенство их функций:
\[ x^2 - 2x - 8 = 2x - 3 \]
Шаг 2: Привести уравнение к общей форме
Переносим все члены на одну сторону уравнения:
\[ x^2 - 2x - 8 - 2x + 3 = 0 \]
Соберем подобные члены:
\[ x^2 - 4x - 5 = 0 \]
Шаг 3: Решить квадратное уравнение
Теперь мы решим квадратное уравнение \( x^2 - 4x - 5 = 0 \) с помощью факторизации:
Найдите два числа, произведение которых равно \(-5\) (свободный член) и сумма которых равна \(-4\) (коэффициент при \(x\)). Это числа \(-5\) и \(1\). Таким образом, уравнение можно записать в виде:
\[ (x - 5)(x + 1) = 0 \]
Шаг 4: Найти корни уравнения
Теперь приравняем каждое произведение к нулю:
- \( x - 5 = 0 \) ⇒ \( x = 5 \)
- \( x + 1 = 0 \) ⇒ \( x = -1 \)
Таким образом, мы нашли \( x \)-координаты точек пересечения: \( x = 5 \) и \( x = -1 \).
Шаг 5: Найти соответствующие значения \(y\)
Теперь подставим найденные \(x\) в одно из уравнений, чтобы найти значения \(y\).
Для \(x = 5\):
Подставим в \(y = 2x - 3\):
\[ y = 2(5) - 3 = 10 - 3 = 7 \]
Таким образом, одна точка пересечения: \((5, 7)\).
Для \(x = -1\):
Подставим в \(y = 2x - 3\):
\[ y = 2(-1) - 3 = -2 - 3 = -5 \]
Таким образом, вторая точка пересечения: \((-1, -5)\).
Шаг 6: Ответ
Координаты точек пересечения графиков \( y = x^2 - 2x - 8 \) и \( y = 2x - 3 \) — это:
- Точка 1: \((5, 7)\)
- Точка 2: \((-1, -5)\)
Шаг 7: Построение графиков
График функции \(y = x^2 - 2x - 8\) — это парабола, направленная вверх. Для построения графика можно найти несколько значений \(y\) для различных значений \(x\).
График функции \(y = 2x - 3\) — это прямая с наклоном 2 и пересечением оси \(y\) в точке \(-3\).
Для наглядного графика можно использовать графический калькулятор или программу для построения графиков, где вы можете ввести обе функции и увидеть их пересечение.
Это решение охватывает все важные этапы задачи и предоставляет полное понимание работы с графиками и их пересечениями.
