Площадь полной поверхности конуса равна 56. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 3:1, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.

Чтобы найти площадь полной поверхности отсечённого конуса, давайте разберём задачу шаг за шагом. ### 1. Условия задачи У нас есть конус с площадью полной поверхности \( S = 56 \). Также высота конуса делится на 4 части (в отношении \( 3:1 \)). Это означает, что верхняя часть, которую мы будем рассматривать, составляет \( \frac{3}{4} \) от высоты конуса. ### 2. Параметры полной поверхности конуса Полная поверхность конуса состоит из двух частей: - Площадь основания (круга) - Площадь боковой поверхности Формулы для расчета: 1. Площадь основания \( S_{\text{осн}} = \pi r^2 \) 2. Площадь боковой поверхности \( S_{\text{бок}} = \pi r l \), где \( l \) – образующая конуса. ### 3. Полная площадь поверхности Следовательно, полная площадь поверхности конуса: \[ S_{\text{полная}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l) \] ### 4. Определение соотношений Обозначим высоту полного конуса как \( h \). По условию, высота отсечённого конуса составляет \( \frac{3}{4}h \). **Для отсечённого конуса:** - Радиус основания \( r_1 = \frac{3}{4}r \) (по подобию) - Высота \( h_1 = \frac{3}{4}h \) Теперь радиус конуса пропорционален его высоте, следовательно, радиус верхнего основания конуса будет уменьшен в том же отношении, что и высота. ### 5. Вычисление площади полной поверхности отсечённого конуса Теперь давайте вычислим площадь полной поверхности отсечённого конуса: 1. Площадь основания (новое основание) будет: \[ S_{\text{осн}} = \pi r_1^2 = \pi \left(\frac{3}{4} r\right)^2 = \frac{9}{16} \pi r^2 \] 2. Площадь боковой поверхности отсечённого конуса: \[ S_{\text{бок}} = \pi r_1 l_1 \] где \( l_1 \) - образующая нового конуса. Мы можем найти \( l_1 \) с помощью подобия треугольников: \[ \frac{l_1}{l} = \frac{h_1}{h} = \frac{3/4 h}{h} = \frac{3}{4} \implies l_1 = \frac{3}{4} l \] Следовательно, площадь боковой поверхности отсечённого конуса: \[ S_{\text{бок}} = \pi \left(\frac{3}{4} r\right) \left(\frac{3}{4} l\right) = \frac{9}{16} \pi r l \] ### 6. Полная площадь поверхности отсечённого конуса Теперь можем записать полную площадь поверхности отсечённого конуса: \[ S_{\text{полный_отсеченный}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = \frac{9}{16} \pi r^2 + \frac{9}{16} \pi r l \] ### 7. Упрощение С учетом того, что \( S = \pi r (r + l) = 56 \): \[ S_{\text{полный_отсеченный}} = \frac{9}{16} S = \frac{9}{16} \times 56 = \frac{504}{16} = 31.5 \] ### Ответ Площадь полной поверхности отсечённого конуса равна **31.5**.