Найдите стационарные точки функции: f(x)=x^3 - x^2 - x +2

Чтобы найти стационарные точки функции \( f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 \), нам нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найти производную функции

Стационарные точки можно найти, используя первую производную функции. Сначала найдем производную \( f'(x) \).

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(2) \] \[ f'(x) = 3x^2 - 2x - 1 \]

Шаг 2: Найти значения x, где производная равна нулю

Стационарные точки соответствуют тем значениям \( x \), где производная равна нулю, то есть решим уравнение:

\[ 3x^2 - 2x - 1 = 0 \]

Шаг 3: Решить квадратное уравнение

Для решения этого уравнения можно воспользоваться формулой корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В нашем случае \( a = 3 \), \( b = -2 \), \( c = -1 \).

Сначала найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16 \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{2 \pm 4}{6} \]

Теперь решим для двух случаев:

1. \( x_1 = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)
2. \( x_2 = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \)

Шаг 4: Записать стационарные точки

Мы нашли два значения \( x \):

1. \( x_1 = 1 \)
2. \( x_2 = -\frac{1}{3} \)

Эти значения \( x \) являются стационарными точками функции \( f(x) \).

Шаг 5: Проверка стационарных точек (по желанию)

Если необходимо, можно вывести значения функции в этих точках, чтобы получить координаты стационарных точек;

1. Для \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 + 2 = 1 - 1 - 1 + 2 = 1 \] То есть, стационарная точка: \( (1, 1) \).

2. Для \( x = -\frac{1}{3} \): \[ f\left(-\frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right) + 2 \] \[ = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 2 \] Для удобства приведем к общему знаменателю: \[ = -\frac{1}{27} - \frac{3}{27} + \frac{9}{27} + \frac{54}{27} \] \[ = \frac{-1 - 3 + 9 + 54}{27} = \frac{59}{27} \] То есть, стационарная точка: \( \left(-\frac{1}{3}, \frac{59}{27}\right) \).

Итог

Таким образом, стационарные точки функции \( f(x) \) — это:

• \( (1, 1) \)
• \( \left(-\frac{1}{3}, \frac{59}{27}\right) \)