Найдите стационарные точки функции: f(x)=x^3 - x^2 - x +2

Чтобы найти стационарные точки функции \( f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 \), нам нужно выполнить следующие шаги: ### Шаг 1: Найти производную функции Стационарные точки можно найти, используя первую производную функции. Сначала найдем производную \( f'(x) \). \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(2) \] \[ f'(x) = 3x^2 - 2x - 1 \] ### Шаг 2: Найти значения x, где производная равна нулю Стационарные точки соответствуют тем значениям \( x \), где производная равна нулю, то есть решим уравнение: \[ 3x^2 - 2x - 1 = 0 \] ### Шаг 3: Решить квадратное уравнение Для решения этого уравнения можно воспользоваться формулой корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае \( a = 3 \), \( b = -2 \), \( c = -1 \). Сначала найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16 \] Теперь подставим значения в формулу: \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{2 \pm 4}{6} \] Теперь решим для двух случаев: 1. \( x_1 = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1 \) 2. \( x_2 = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \) ### Шаг 4: Записать стационарные точки Мы нашли два значения \( x \): 1. \( x_1 = 1 \) 2. \( x_2 = -\frac{1}{3} \) Эти значения \( x \) являются стационарными точками функции \( f(x) \). ### Шаг 5: Проверка стационарных точек (по желанию) Если необходимо, можно вывести значения функции в этих точках, чтобы получить координаты стационарных точек; 1. Для \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 + 2 = 1 - 1 - 1 + 2 = 1 \] То есть, стационарная точка: \( (1, 1) \). 2. Для \( x = -\frac{1}{3} \): \[ f\left(-\frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right) + 2 \] \[ = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 2 \] Для удобства приведем к общему знаменателю: \[ = -\frac{1}{27} - \frac{3}{27} + \frac{9}{27} + \frac{54}{27} \] \[ = \frac{-1 - 3 + 9 + 54}{27} = \frac{59}{27} \] То есть, стационарная точка: \( \left(-\frac{1}{3}, \frac{59}{27}\right) \). ### Итог Таким образом, стационарные точки функции \( f(x) \) — это: - \( (1, 1) \) - \( \left(-\frac{1}{3}, \frac{59}{27}\right) \)