В классе 26 учеников. Для участия в школьной эстафете необходимо выбрать 11 школьников. Сколькими способами классный руководитель может сделать свой выбор?

Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторику, а именно формулу для нахождения количества сочетаний.

Когда нам нужно выбрать несколько объектов из общего количества, где порядок не важен, мы используем сочетания. Формула для вычисления количества сочетаний и обозначается как \( C(n, k) \), что читается как "n по k". Она выглядит следующим образом:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( n \) — общее количество объектов (в нашем случае, это 26 учеников),
• \( k \) — количество объектов, которые мы выбираем (в нашем случае, это 11 учеников),
• \( ! \) — факториал, который представляет собой произведение всех положительных целых чисел до данного числа.

Теперь мы подставим значения \( n = 26 \) и \( k = 11 \) в формулу:

\[ C(26, 11) = \frac{26!}{11!(26-11)!} = \frac{26!}{11! \cdot 15!} \]

Теперь, чтобы упростить этот расчет, мы можем записать факториал \( 26! \) как:

\[ 26! = 26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15! \]

Теперь подставим это в формулу:

\[ C(26, 11) = \frac{26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15!}{11! \cdot 15!} \]

Заметим, что \( 15! \) в числителе и знаменателе сокращаются:

\[ C(26, 11) = \frac{26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{11!} \]

Теперь нам остается только вычислить значение \( 11! \):

\[ 11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 39916800 \]

Теперь мы можем подсчитать числитель:

\[ 26 \times 25 = 650 \\ 650 \times 24 = 15600 \\ 15600 \times 23 = 358800 \\ 358800 \times 22 = 7893360 \\ 7893360 \times 21 = 165772560 \\ 165772560 \times 20 = 3315451200 \\ 3315451200 \times 19 = 63069668800 \\ 63069668800 \times 18 = 1135148728000 \\ 1135148728000 \times 17 = 19297396176000 \\ 19297396176000 \times 16 = 308757346816000 \]

Теперь у нас есть числитель:

\[ \text{Числитель} = 308757346816000 \]

Теперь подставляем в формулу:

\[ C(26, 11) = \frac{308757346816000}{39916800} \approx 7726160 \]

Таким образом, классный руководитель может выбрать 11 учеников из 26 возможных 7,726,160 способов.

Ответ: Классный руководитель может сделать свой выбор 7,726,160 способами.