Посчитай 1*1!+2*2!+...+10*10!

Чтобы решить выражение \( 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \ldots + 10 \cdot 10! \), давай сначала вспомним, что такое факториал. Факториал числа \( n \) (обозначается \( n! \)) — это произведение всех целых чисел от 1 до \( n \). Например, \( 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \).

Теперь давай разберем каждое слагаемое в нашем выражении:

1. Вычисление слагаемых:

   • \( 1 \cdot 1! = 1 \cdot 1 = 1 \)
   • \( 2 \cdot 2! = 2 \cdot (2 \cdot 1) = 2 \cdot 2 = 4 \)
   • \( 3 \cdot 3! = 3 \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1) = 3 \cdot 6 = 18 \)
   • \( 4 \cdot 4! = 4 \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) = 4 \cdot 24 = 96 \)
   • \( 5 \cdot 5! = 5 \cdot (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) = 5 \cdot 120 = 600 \)
   • \( 6 \cdot 6! = 6 \cdot (6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) = 6 \cdot 720 = 4320 \)
   • \( 7 \cdot 7! = 7 \cdot (7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) = 7 \cdot 5040 = 35280 \)
   • \( 8 \cdot 8! = 8 \cdot (8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) = 8 \cdot 40320 = 322560 \)
   • \( 9 \cdot 9! = 9 \cdot (9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) = 9 \cdot 362880 = 3265920 \)
   • \( 10 \cdot 10! = 10 \cdot (10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) = 10 \cdot 3628800 = 36288000 \)

2. Суммирование всех слагаемых: Теперь сложим все полученные значения: \[ 1 + 4 + 18 + 96 + 600 + 4320 + 35280 + 322560 + 3265920 + 36288000 \]

Давайте посчитаем это по шагам:

• \( 1 + 4 = 5 \)
• \( 5 + 18 = 23 \)
• \( 23 + 96 = 119 \)
• \( 119 + 600 = 719 \)
• \( 719 + 4320 = 5039 \)
• \( 5039 + 35280 = 40219 \)
• \( 40219 + 322560 = 362779 \)
• \( 362779 + 3265920 = 3627799 \)
• \( 3627799 + 36288000 = 39915799 \)

Таким образом, значение выражения \( 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \ldots + 10 \cdot 10! = 39916800 \).

Ответ: \( 39916800 \)