В магазин привезли бананы, апельсины и яблоки. Известно, что общее количество всех этих фруктов больше 60 и меньше 125 . Сотрудники магазина разложили все фрукты по пяти прилавкам…
В магазин привезли бананы, апельсины и яблоки. Известно, что общее количество всех этих фруктов больше 60 и меньше 125. Сотрудники магазина разложили все фрукты по пяти прилавкам таким образом, что на каждом прилавке обязательно лежат фрукты всех трёх видов. Оказалось, что число апельсинов на каждом прилавке равно общему числу яблок на всех остальных прилавках, а число яблок на каждом прилавке равно общему числу бананов на всех остальных прилавках. Сколько фруктов привезли в магазин?
Для решения этой задачи давай разберёмся с данными условиями шаг за шагом.
1. Обозначим количества фруктов:
- Пусть:
- \( x \) — количество бананов на каждом прилавке,
- \( y \) — количество апельсинов на каждом прилавке,
- \( z \) — количество яблок на каждом прилавке.
2. Условия задачи:
- Общее количество фруктов больше 60 и меньше 125.
- На каждом прилавке есть фрукты трёх видов (бананы, апельсины и яблоки).
- Существует 5 прилавков.
Запишем это математически:
- Общее количество фруктов: \[ 5x + 5y + 5z = 5(x + y + z) \]
- Данное количество должно быть в диапазоне: \[ 60 < 5(x + y + z) < 125 \]
- Делим на 5: \[ 12 < x + y + z < 25 \]
3. Второе условие:
- Число апельсинов на каждом прилавке \( y \) равно общему числу яблок на остальных прилавках: \[ y = 4z \quad (т.к. на остальных 4 прилавках находятся 4z яблок) \]
- Число яблок на каждом прилавке \( z \) равно общему числу бананов на остальных прилавках: \[ z = 4x \quad (т.к. на остальных 4 прилавках находятся 4x бананов) \]
4. Подставим \( y \) в уравнение:
Из первого уравнения \( y = 4z \) подставляем \( z = 4x \): \[ y = 4(4x) = 16x \]
Теперь мы можем выразить всё через \( x \): \[ y = 16x \] \[ z = 4x \]
5. Найдём \( x + y + z \):
Подставляем \( y \) и \( z \): \[ x + y + z = x + 16x + 4x = 21x \]
6. Теперь подставим \( x + y + z \) в диапазон:
По предыдущему этапу: \[ 12 < 21x < 25 \]
Делим на 21: \[ \frac{12}{21} < x < \frac{25}{21} \] \[ \approx 0.57 < x < 1.19 \]
Поскольку \( x \) должно быть целым числом, то это даёт нам: \[ x = 1 \]
7. Подставим \( x = 1 \) в выражения для \( y \) и \( z \):
- Если \( x = 1 \): \[ y = 16 \cdot 1 = 16 \] \[ z = 4 \cdot 1 = 4 \]
8. Теперь найдём общее количество фруктов:
Подставим \( x, y, z \) в уравнение для общего количества фруктов: \[ x + y + z = 1 + 16 + 4 = 21 \] Умножаем на количество прилавков (5): \[ 5(x + y + z) = 5 \cdot 21 = 105 \]
9. Проверим условия:
- 105 больше 60 и меньше 125 — всё верно.
Ответ:
Итак, в магазин привезли 105 фруктов.
