Сторона квадрата ABCD равна 16. Отрезок BD продлили за точку D на длину отрезка BD и получил точку N. Найдите площадь фигуры ABCN. Запишите решение и ответ. Решение:

Чтобы найти площадь фигуры ABCN, начнем с того, что нам дан квадрат ABCD со стороной равной 16.

1. Рассмотрим квадрат ABCD.

   • Стороны квадрата ABCD: AB = BC = CD = DA = 16.
   • Определим координаты вершин квадрата. Пусть:
     • A(0, 0)
     • B(16, 0)
     • C(16, 16)
     • D(0, 16)

2. Находим длину отрезка BD.

   • Отрезок BD — это диагональ квадрата. Используем формулу для длины отрезка между двумя точками: \[ BD = \sqrt{(x_D - x_B)^2 + (y_D - y_B)^2} = \sqrt{(0 - 16)^2 + (16 - 0)^2} = \sqrt{(-16)^2 + (16)^2} = \sqrt{256 + 256} = \sqrt{512} = 16\sqrt{2} \]

3. Находим координаты точки N.

   • Отрезок BD доведем за точку D на длину, равную длине BD, то есть 16√2. Сначала найдем координаты точки D:
     • D(0, 16).
   • Чтобы найти координаты точки N, мы используем вектор BD и удлиняем его.
     • Вектор BD: \(\overrightarrow{BD} = (x_D - x_B, y_D - y_B) = (0 - 16, 16 - 0) = (-16, 16)\).
   • Теперь найдем направление этого вектора:
     • Длина вектора BD: 16√2 (уже вычислено).
     • Удлиняем его на 16√2, т.е. на длину самого отрезка BD. Таким образом, мы можем использовать единичный вектор \(\overrightarrow{u} = \left(-\frac{16}{16\sqrt{2}}, \frac{16}{16\sqrt{2}}\right) = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\).

   Сначала найдем координаты точки N:

   • \(N = D + k\overrightarrow{BD}\), где \(k = 2\) (так как мы продлеваем отрезок на его же длину): \[ N = (0, 16) + 2 \cdot ( -16, 16) = (0 - 32, 16 + 32) = (-32, 48) \]

4. Теперь найдем площадь фигуры ABCN.

   • Это треугольник ABC и треугольник ABD (вычтем его из площади квадрата).
   • Площадь квадрата ABCD: \(S_{ABCD} = 16 \times 16 = 256\).
   • Площадь треугольника ABD:
     • Основание AB = 16, высота AD = 16. \[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times AD = \frac{1}{2} \times 16 \times 16 = \frac{256}{2} = 128 \]

5. Площадь фигуры ABCN:

   • Считаем: \[ S_{ABCN} = S_{ABCD} + S_{ABD} = 256 + 128 = 384 \]

Ответ:

Площадь фигуры ABCN равна 384 квадратных единиц.