Сторона квадрата ABCD равна 16. Отрезок BD продлили за точку D на длину отрезка BD и получил точку N. Найдите площадь фигуры ABCN. Запишите решение и ответ. Решение:

Чтобы найти площадь фигуры ABCN, начнем с того, что нам дан квадрат ABCD со стороной равной 16. 1. **Рассмотрим квадрат ABCD.** - Стороны квадрата ABCD: AB = BC = CD = DA = 16. - Определим координаты вершин квадрата. Пусть: - A(0, 0) - B(16, 0) - C(16, 16) - D(0, 16) 2. **Находим длину отрезка BD.** - Отрезок BD — это диагональ квадрата. Используем формулу для длины отрезка между двумя точками: \[ BD = \sqrt{(x_D - x_B)^2 + (y_D - y_B)^2} = \sqrt{(0 - 16)^2 + (16 - 0)^2} = \sqrt{(-16)^2 + (16)^2} = \sqrt{256 + 256} = \sqrt{512} = 16\sqrt{2} \] 3. **Находим координаты точки N.** - Отрезок BD доведем за точку D на длину, равную длине BD, то есть 16√2. Сначала найдем координаты точки D: - D(0, 16). - Чтобы найти координаты точки N, мы используем вектор BD и удлиняем его. - Вектор BD: \(\overrightarrow{BD} = (x_D - x_B, y_D - y_B) = (0 - 16, 16 - 0) = (-16, 16)\). - Теперь найдем направление этого вектора: - Длина вектора BD: 16√2 (уже вычислено). - Удлиняем его на 16√2, т.е. на длину самого отрезка BD. Таким образом, мы можем использовать единичный вектор \(\overrightarrow{u} = \left(-\frac{16}{16\sqrt{2}}, \frac{16}{16\sqrt{2}}\right) = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\). Сначала найдем координаты точки N: - \(N = D + k\overrightarrow{BD}\), где \(k = 2\) (так как мы продлеваем отрезок на его же длину): \[ N = (0, 16) + 2 \cdot ( -16, 16) = (0 - 32, 16 + 32) = (-32, 48) \] 4. **Теперь найдем площадь фигуры ABCN.** - Это треугольник ABC и треугольник ABD (вычтем его из площади квадрата). - Площадь квадрата ABCD: \(S_{ABCD} = 16 \times 16 = 256\). - Площадь треугольника ABD: - Основание AB = 16, высота AD = 16. \[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times AD = \frac{1}{2} \times 16 \times 16 = \frac{256}{2} = 128 \] 5. **Площадь фигуры ABCN:** - Считаем: \[ S_{ABCN} = S_{ABCD} + S_{ABD} = 256 + 128 = 384 \] ### Ответ: Площадь фигуры ABCN равна **384 квадратных единиц**.