Диспетчер скорой помощи за час приняла 140 звонков. Определи вероятность того, что в течение следующего часа число звонков превысит 210. (Ответ округли до сотых.)

Для решения этой задачи мы можем использовать распределение Пуассона, которое хорошо описывает количество событий (в данном случае - звонков), произошедших за фиксированный период времени, при известной средней интенсивности.

Шаг 1: Определение параметров

У нас есть информация о том, что диспетчер скорой помощи принимает в среднем 140 звонков за час. Таким образом, среднее количество звонков (λ, лямбда) равно 140.

Шаг 2: Определение условия задачи

Нам нужно определить вероятность того, что количество звонков превышает 210. Это будет равняться:

\[ P(X > 210) = 1 - P(X \leq 210) \]

Шаг 3: Использование распределения Пуассона

Вероятность того, что количество звонков X равно k, для распределения Пуассона можно вычислить по следующей формуле:

\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \]

где:

• \( e \) - основание натурального логарифма (примерно равно 2.71828),
• \( \lambda \) - среднее число событий (в нашем случае, 140),
• \( k \) - количество событий, для которого мы находим вероятность.

Шаг 4: Вычисление \( P(X \leq 210) \)

Чтобы вычислить \( P(X \leq 210) \), мы должны найти сумму вероятностей от 0 до 210:

\[ P(X \leq 210) = \sum_{k=0}^{210} P(X = k) = \sum_{k=0}^{210} \frac{e^{-140} \cdot 140^k}{k!} \]

На практике такую сумму обычно рассчитывают с помощью компьютерных программ или калькуляторов, так как это довольно громоздко.

Шаг 5: Использование нормального приближения

Поскольку λ = 140 является достаточно большим числом, мы можем использовать приближенную нормальную модель. Распределение Пуассона с параметром λ приближается нормальным распределением с теми же параметрами:

• Среднее (μ) = λ = 140
• Дисперсия (σ²) = λ = 140, следовательно, стандартное отклонение (σ) = √140 ≈ 11.83.

Для нормального распределения:

\[ P(X > 210) = 1 - P(X \leq 210) \]

Прежде, чем вычислить это, необходимо нормализовать:

\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{210 - 140}{11.83} \approx 5.91 \]

Шаг 6: Находим вероятность для Z-значения

Теперь мы можем найти вероятность \( P(Z > 5.91) \). В стандартной нормальной таблице вероятностей, Z-значение 5.91 является экстремально большим, и вероятность такого значения практически равна 0.

Таким образом:

\[ P(X > 210) \approx 0. \]

Ответ

Вероятность того, что в течение следующего часа число звонков превысит 210, приближенно равна 0.00 (округлено до сотых).