Найдите промежутки возрастания и убывания функции: 2) y = 2x ^ 2 - 4x + 5
Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нам нужно следовать нескольким шагам. Рассмотрим функцию:
\[ y = 2x^2 - 4x + 5 \]
Шаг 1: Найти производную функции
Сначала найдем производную функции \( y \) по переменной \( x \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^2 - 4x + 5) \]
Используя правила дифференцирования, получаем:
\[ y' = 2 \cdot 2x^{2-1} - 4 \cdot 1 = 4x - 4 \]
Шаг 2: Найти критические точки
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
\[ 4x - 4 = 0 \]
Решим это уравнение:
\[ 4x = 4 \implies x = 1 \]
Шаг 3: Определение знака производной
Критическая точка делит числовую прямую на два интервала:
- \( (-\infty, 1) \)
- \( (1, +\infty) \)
Теперь определим знак производной на каждом интервале.
Для интервала \( (-\infty, 1) \), возьмем точку, например, \( x = 0 \): \[ y'(0) = 4 \cdot 0 - 4 = -4 \quad (\text{отрицательно}) \]
Для интервала \( (1, +\infty) \), возьмем точку, например, \( x = 2 \): \[ y'(2) = 4 \cdot 2 - 4 = 4 \quad (\text{положительно}) \]
Шаг 4: Выводы о возрастании и убывании
Теперь мы можем сделать выводы о возрастании и убывании функции:
- На интервале \( (-\infty, 1) \), функция убывает, так как производная отрицательная.
- На интервале \( (1, +\infty) \), функция возрастает, так как производная положительная.
Резюме
- Промежуток убывания: \( (-\infty, 1) \)
- Промежуток возрастания: \( (1, +\infty) \)
Таким образом, мы нашли, что функция убывает на промежутке от минус бесконечности до 1 и возрастает на промежутке от 1 до плюс бесконечности.
