Реши

Давайте решим задачу о высоте трапеции. **Дано:** - Большее основание трапеции в два раза больше меньшего. - Вписанная окружность касается всех сторон трапеции. - Периметр трапеции равен 24 см. **Нужно найти высоту трапеции.** **Решение:** 1. **Обозначим переменные.** Пусть меньшее основание трапеции равно \( x \) см. Тогда большее основание в два раза больше, то есть \( 2x \) см. 2. **Свойство трапеции с вписанной окружностью.** Если окружность вписана в трапецию, то сумма оснований равна сумме боковых сторон. Обозначим боковые стороны \( a \) и \( b \). Условие вписанности окружности: \( a + b = x + 2x = 3x \). 3. **Периметр трапеции.** Периметр трапеции: \( x + 2x + a + b = 24 \). Подставляя условие вписанности окружности, получаем: \( x + 2x + 3x = 24 \). Объединим переменные: \( 6x = 24 \). 4. **Найдем \( x \).** \( x = \frac{24}{6} = 4 \) см. Таким образом, меньшее основание трапеции \( x = 4 \) см, большее основание \( 2x = 8 \) см. 5. **Найдем длины боковых сторон.** Поскольку \( a + b = 3x = 12 \) см, и сумма боковых сторон равна сумме оснований: \( a + b = 12 \). 6. **Найдем высоту треугольника.** Площадь трапеции через высоту и основания: \( \text{Площадь} = \frac{(x + 2x) \cdot h}{2} = \frac{12h}{2} = 6h \). Поскольку трапеция с вписанной окружностью, площадь также равна периметру, деленному на 2, умноженному на радиус, описывающий высоту: \( 6h = 24 \). Поэтому высота \( h = 4 \) см. **Ответ:** Высота трапеции равна 4 см.