реши

Давайте решим задачу о высоте трапеции.

Дано:

• Большее основание трапеции в два раза больше меньшего.
• Вписанная окружность касается всех сторон трапеции.
• Периметр трапеции равен 24 см.

Нужно найти высоту трапеции.

Решение:

1. Обозначим переменные.

   Пусть меньшее основание трапеции равно \( x \) см. Тогда большее основание в два раза больше, то есть \( 2x \) см.

2. Свойство трапеции с вписанной окружностью.

   Если окружность вписана в трапецию, то сумма оснований равна сумме боковых сторон. Обозначим боковые стороны \( a \) и \( b \).

   Условие вписанности окружности: \( a + b = x + 2x = 3x \).

3. Периметр трапеции.

   Периметр трапеции: \( x + 2x + a + b = 24 \).

   Подставляя условие вписанности окружности, получаем: \( x + 2x + 3x = 24 \).

   Объединим переменные: \( 6x = 24 \).

4. Найдем \( x \).

   \( x = \frac{24}{6} = 4 \) см.

   Таким образом, меньшее основание трапеции \( x = 4 \) см, большее основание \( 2x = 8 \) см.

5. Найдем длины боковых сторон.

   Поскольку \( a + b = 3x = 12 \) см, и сумма боковых сторон равна сумме оснований: \( a + b = 12 \).

6. Найдем высоту треугольника.

   Площадь трапеции через высоту и основания: \( \text{Площадь} = \frac{(x + 2x) \cdot h}{2} = \frac{12h}{2} = 6h \).

   Поскольку трапеция с вписанной окружностью, площадь также равна периметру, деленному на 2, умноженному на радиус, описывающий высоту: \( 6h = 24 \).

   Поэтому высота \( h = 4 \) см.

Ответ: Высота трапеции равна 4 см.