Диспетчер скорой помощи за час приняла 320 звонков. Определи вероятность того, что в течение следующего часа число звонков превысит 416. (Ответ округли до сотых.)

Для решения этой задачи мы будем использовать распределение Пуассона, которое часто применяется для моделирования числа событий (в данном случае — звонков) за фиксированный интервал времени, когда эти события происходят независимо друг от друга.

Шаг 1: Определение параметров распределения

В нашем случае «число звонков» является событием, которое следует распределению Пуассона. У нас есть:

• Среднее число звонков за час (λ) = 320.

Шаг 2: Формулировка задачи

Мы ищем вероятность того, что число звонков (X) в течение следующего часа превышает 416: \[ P(X > 416) \]

Шаг 3: Применение распределения Пуассона

Вероятность того, что случайная величина X примет значение, большее чем k, может быть найдена через его комплементарную функцию: \[ P(X > k) = 1 - P(X \leq k) \]

Чтобы найти \( P(X \leq 416) \), мы можем воспользоваться формулой распределения Пуассона:

\[ P(X = k) = \frac{λ^k e^{-λ}}{k!} \]

Где:

• \( λ \) — среднее число событий (в нашем случае 320),
• \( e \) — основание натурального логарифма (приблизительно 2.71828),
• \( k \) — конкретное число событый, для которого мы вычисляем вероятность.

Шаг 4: Вычисление

Чтобы найти \( P(X \leq 416) \), необходимо суммировать вероятности от 0 до 416. Поскольку напрямую вычислить это значение может быть сложно, мы можем использовать нормальное приближение.

Для большого числа (как в нашем случае) распределение Пуассона можно аппроксимировать нормальным:

• Среднее (μ) = λ = 320
• Дисперсия (σ²) = λ = 320, значит, σ = √320 ≈ 17.89

Теперь преобразуем 416 в стандартный вид нормального распределения (z-оценка):

\[ z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{416 - 320}{17.89} \approx 5.34 \]

Шаг 5: Использование таблицы стандартного нормального распределения

Теперь мы можем найти \( P(Z < 5.34) \) в таблице стандартного нормального распределения. Значение z = 5.34 будет очень близко к 1, так как такие z-значения находятся далеко в хвосте распределения.

Итак,

\[ P(X \leq 416) \approx P(Z < 5.34) \approx 1 \] Следовательно,

\[ P(X > 416) = 1 - P(X \leq 416) \approx 1 - 1 = 0 \]

Ответ

Вероятность того, что в течение следующего часа число звонков превышает 416, составляет примерно 0.00 (при округлении до сотых).