Решите неравенство 5х+4/х-3 меньше 4

Решим неравенство \(\frac{5x + 4}{x - 3} < 4\). 1. Перепишем неравенство: \[ \frac{5x + 4}{x - 3} - 4 < 0. \] 2. Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{5x + 4 - 4(x - 3)}{x - 3} < 0. \] 3. Упростим числитель: \[ 5x + 4 - 4x + 12 = x + 16. \] Теперь неравенство выглядит так: \[ \frac{x + 16}{x - 3} < 0. \] 4. Найдем нули числителя и знаменателя: - Нули числителя: \(x + 16 = 0 \implies x = -16\). - Нули знаменателя: \(x - 3 = 0 \implies x = 3\). 5. Теперь на числовой прямой определим интервалы, которые образуют эти точки: - \( (-\infty, -16) \) - \( (-16, 3) \) - \( (3, +\infty) \) 6. Проверим знак дроби \(\frac{x + 16}{x - 3}\) в каждом из этих интервалов. - Для интервала \((- \infty, -16)\), например, \(x = -17\): \[ \frac{-17 + 16}{-17 - 3} = \frac{-1}{-20} > 0. \] - Для интервала \((-16, 3)\), например, \(x = 0\): \[ \frac{0 + 16}{0 - 3} = \frac{16}{-3} < 0. \] - Для интервала \((3, +\infty)\), например, \(x = 4\): \[ \frac{4 + 16}{4 - 3} = \frac{20}{1} > 0. \] 7. Теперь соберем все результаты: - \( (-\infty, -16) \) - положительный - \( (-16, 3) \) - отрицательный - \( (3, +\infty) \) - положительный 8. Неравенство \(\frac{x + 16}{x - 3} < 0\) выполняется на интервале: \[ (-16, 3). \] 9. Объединяя все, получаем окончательное решение: \[ x \in (-16, 3). \]