Решите неравенство 5х+4/х-3 меньше 4
Решим неравенство \(\frac{5x + 4}{x - 3} < 4\).
Перепишем неравенство: \[ \frac{5x + 4}{x - 3} - 4 < 0. \]
Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{5x + 4 - 4(x - 3)}{x - 3} < 0. \]
Упростим числитель: \[ 5x + 4 - 4x + 12 = x + 16. \] Теперь неравенство выглядит так: \[ \frac{x + 16}{x - 3} < 0. \]
Найдем нули числителя и знаменателя:
- Нули числителя: \(x + 16 = 0 \implies x = -16\).
- Нули знаменателя: \(x - 3 = 0 \implies x = 3\).
- Теперь на числовой прямой определим интервалы, которые образуют эти точки:
- \( (-\infty, -16) \)
- \( (-16, 3) \)
- \( (3, +\infty) \)
- Проверим знак дроби \(\frac{x + 16}{x - 3}\) в каждом из этих интервалов.
Для интервала \((- \infty, -16)\), например, \(x = -17\): \[ \frac{-17 + 16}{-17 - 3} = \frac{-1}{-20} > 0. \]
Для интервала \((-16, 3)\), например, \(x = 0\): \[ \frac{0 + 16}{0 - 3} = \frac{16}{-3} < 0. \]
Для интервала \((3, +\infty)\), например, \(x = 4\): \[ \frac{4 + 16}{4 - 3} = \frac{20}{1} > 0. \]
- Теперь соберем все результаты:
- \( (-\infty, -16) \) - положительный
- \( (-16, 3) \) - отрицательный
- \( (3, +\infty) \) - положительный
Неравенство \(\frac{x + 16}{x - 3} < 0\) выполняется на интервале: \[ (-16, 3). \]
Объединяя все, получаем окончательное решение: \[ x \in (-16, 3). \]
