Решите неравенство 5х+4/х-3 меньше 4

Чтобы решить неравенство \(\frac{5x + 4}{x - 3} < 4\), сначала перенесем 4 в левую сторону: \[ \frac{5x + 4}{x - 3} - 4 < 0 \] Теперь необходимо привести к общему знаменателю: \[ \frac{5x + 4 - 4(x - 3)}{x - 3} < 0 \] Упростим числитель: \[ 5x + 4 - 4x + 12 = x + 16 \] Итак, мы получили: \[ \frac{x + 16}{x - 3} < 0 \] Теперь необходимо найти, когда дробь меньше нуля. Для этого определим нули числителя и знаменателя: - Нуль числителя: \(x + 16 = 0 \Rightarrow x = -16\) - Нуль знаменателя: \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\) Теперь у нас есть два критических значения: \(x = -16\) и \(x = 3\). Проверяем знаки во следующих интервалах: 1. \(x < -16\) 2. \(-16 < x < 3\) 3. \(x > 3\) Проверим знак дроби в каждом из интервалов: 1. Для \(x < -16\) (например, \(x = -17\)): \[ \frac{-17 + 16}{-17 - 3} = \frac{-1}{-20} > 0 \] 2. Для \(-16 < x < 3\) (например, \(x = 0\)): \[ \frac{0 + 16}{0 - 3} = \frac{16}{-3} < 0 \] 3. Для \(x > 3\) (например, \(x = 4\)): \[ \frac{4 + 16}{4 - 3} = \frac{20}{1} > 0 \] Теперь обозначим знаки: - Для \(x < -16\) дробь положительна, - Для \(-16 < x < 3\) дробь отрицательна, - Для \(x > 3\) дробь положительна. Поскольку нас интересует, когда дробь меньше нуля, то решение неравенства: \[ -16 < x < 3 \] Также необходимо учесть, что \(x \neq 3\), так как в этом случае дробь не определена. Таким образом, окончательное решение неравенства: \[ (-16, 3) \]