Чтобы решить задачу о вероятности того, что все 10 кроликов разбегутся по трем норам так, чтобы в каждой норе было хотя бы по одному кролику, будем использовать метод включения-исключения, чтобы учесть условия.
Шаг 1: Определение обобщения задачи
У нас есть 10 кроликов и 3 норы. Мы должны узнать, какова вероятность того, что ни одна из нор не останется пустой.
Шаг 2: Общее количество способов распределения
Всего способов распределить 10 кроликов по 3 норам будет (3^{10}). Это потому, что у каждого из 10 кроликов есть 3 выбора (в какую нору он может сбежать), и выборы независимы.
Шаг 3: Использование принципа включения-исключения
Обозначим:
- (N) – общее количество способов распределить кроликов (что мы уже нашли, (N = 3^{10})).
Событие (A_i) – событие, что (i)-я нора пуста.
Найдем количество способов, при которых хотя бы одна нора пуста:
- Сначала найдем количество распределений, где одна конкретная нора пуста. Если одна нора пуста, остаются 2 норы, и тогда у нас только (2^{10}) способов распределить 10 кроликов.
- Количество способов, при которых хотя бы одна нора пуста:
[
|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cap A_2| - |A_1 \cap A_3| - |A_2 \cap A_3|
]
- По аналогии, если 2 норы пусты, то все кролики должны будут оказаться в оставшейся 1 норе, что дает только 1 способ:
[
|A_1 \cap A_2| = |A_1 \cap A_3| = |A_2 \cap A_3| = 1
]
- Таким образом:
[
|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = 3 \cdot 2^{10} - 3 \cdot 1 = 3 \cdot 1024 - 3 = 3072 - 3 = 3069
]
Шаг 4: Найдем количество способов, когда ни одна нора не пуста
Теперь, чтобы найти количество способов, в которых ни одна нора не пуста, вычтем количество случаев, когда хотя бы одна нора пуста, из общего числа способов:
[
N_{\text{без пустых}} = N - |A_1 \cup A_2 \cup A_3| = 3^{10} - 3069
]
Подсчитаем (3^{10}):
[
3^{10} = 59049
]
Теперь подставим:
[
N_{\text{без пустых}} = 59049 - 3069 = 55980
]
Шаг 5: Рассчитаем вероятность
Вероятность того, что ни одна из нор не пустует:
[
P = \frac{N_{\text{без пустых}}}{N} = \frac{55980}{59049} \approx 0.948
]
Шаг 6: Определим диапазон вероятности
- Возможные интервалы:
- ([0; 0,3))
- ([0,2; 0,4))
- ([0,4; 0,6))
- ([0,6; 0,8))
- ([0,8; 1))
Таким образом, полученная вероятность (P \approx 0.948) попадает в интервал ([0,8; 1)).
Ответ:
Вероятность того, что ни одна из нор не останется пустой, лежит в интервале ([0,8; 1)).
