Спасаясь от охотников, 10 кроликов разбежались независимо друг от друга в три разные норы. В каком из интервалов лежит вероятность указанного события? На Вероятность Событие [0;…

Чтобы решить задачу о вероятности того, что все 10 кроликов разбегутся по трем норам так, чтобы в каждой норе было хотя бы по одному кролику, будем использовать метод включения-исключения, чтобы учесть условия.

Шаг 1: Определение обобщения задачи

У нас есть 10 кроликов и 3 норы. Мы должны узнать, какова вероятность того, что ни одна из нор не останется пустой.

Шаг 2: Общее количество способов распределения

Всего способов распределить 10 кроликов по 3 норам будет \(3^{10}\). Это потому, что у каждого из 10 кроликов есть 3 выбора (в какую нору он может сбежать), и выборы независимы.

Шаг 3: Использование принципа включения-исключения

1. Обозначим:

   • \(N\) – общее количество способов распределить кроликов (что мы уже нашли, \(N = 3^{10}\)).

2. Событие \(A_i\) – событие, что \(i\)-я нора пуста.

3. Найдем количество способов, при которых хотя бы одна нора пуста:

   • Сначала найдем количество распределений, где одна конкретная нора пуста. Если одна нора пуста, остаются 2 норы, и тогда у нас только \(2^{10}\) способов распределить 10 кроликов.
   • Количество способов, при которых хотя бы одна нора пуста: \[ |A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cap A_2| - |A_1 \cap A_3| - |A_2 \cap A_3| \]
   • По аналогии, если 2 норы пусты, то все кролики должны будут оказаться в оставшейся 1 норе, что дает только 1 способ: \[ |A_1 \cap A_2| = |A_1 \cap A_3| = |A_2 \cap A_3| = 1 \]
   • Таким образом: \[ |A_1 \cup A_2 \cup A_3| = 3 \cdot 2^{10} - 3 \cdot 1 = 3 \cdot 1024 - 3 = 3072 - 3 = 3069 \]

Шаг 4: Найдем количество способов, когда ни одна нора не пуста

Теперь, чтобы найти количество способов, в которых ни одна нора не пуста, вычтем количество случаев, когда хотя бы одна нора пуста, из общего числа способов: \[ N_{\text{без пустых}} = N - |A_1 \cup A_2 \cup A_3| = 3^{10} - 3069 \] Подсчитаем \(3^{10}\): \[ 3^{10} = 59049 \] Теперь подставим: \[ N_{\text{без пустых}} = 59049 - 3069 = 55980 \]

Шаг 5: Рассчитаем вероятность

Вероятность того, что ни одна из нор не пустует: \[ P = \frac{N_{\text{без пустых}}}{N} = \frac{55980}{59049} \approx 0.948 \]

Шаг 6: Определим диапазон вероятности

• Возможные интервалы:
  • \([0; 0,3)\)
  • \([0,2; 0,4)\)
  • \([0,4; 0,6)\)
  • \([0,6; 0,8)\)
  • \([0,8; 1)\)

Таким образом, полученная вероятность \(P \approx 0.948\) попадает в интервал \([0,8; 1)\).

Ответ:

Вероятность того, что ни одна из нор не останется пустой, лежит в интервале \([0,8; 1)\).