От острова,расположенного в 2,1км от пристани,отходит катер.До тех пор,пока катер не подойдет к пристани,его расстояние до неё описывается формулой s(t)=2,1+20t-10t^2.Зона…

Для решения задачи начнем с анализа формулы расстояния катера от пристани, которая задана уравнением:

\[ s(t) = 2,1 + 20t - 10t^2 \]

где \( s(t) \) — это расстояние от катера до пристани в километрах, а \( t \) — время в часах.

Шаг 1: Определение границ видимости

Зона видимости наблюдателя составляет 5,7 км. Следовательно, катер должен быть в зоне видимости, если его расстояние от пристани \( s(t) \) меньше или равно 5,7 км.

Шаг 2: Определение времени, когда катер виден

Нам нужно решить неравенство:

\[ s(t) \leq 5,7 \]

Подставим в неравенство формулу расстояния катера:

\[ 2,1 + 20t - 10t^2 \leq 5,7 \]

Шаг 3: Упростим неравенство

Переносим все члены в одну сторону:

\[ -10t^2 + 20t + 2,1 - 5,7 \leq 0 \]

Соберем подобные члены:

\[ -10t^2 + 20t - 3,6 \leq 0 \]

Умножим неравенство на -1 (меняем знак неравенства):

\[ 10t^2 - 20t + 3,6 \geq 0 \]

Шаг 4: Решение квадратного неравенства

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение:

\[ 10t^2 - 20t + 3,6 = 0 \]

Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 3,6 \] \[ = 400 - 144 = 256 \]

Теперь находим корни уравнения:

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 10} \] \[ = \frac{20 \pm 16}{20} \]

Шаг 5: Нахождение корней

Корни уравнения:

1. \( t_1 = \frac{20 + 16}{20} = \frac{36}{20} = 1,8 \)
2. \( t_2 = \frac{20 - 16}{20} = \frac{4}{20} = 0,2 \)

Теперь мы имеем два корня \( t_1 \) и \( t_2 \), которые делят числовую прямую на интервалы. Мы можем определить, на каких интервалах выполняется неравенство \( 10t^2 - 20t + 3,6 \geq 0 \):

Шаг 6: Проверка интервалов

Рассмотрим интервалы:

1. \( t < 0,2 \)
2. \( 0,2 < t < 1,8 \)
3. \( t > 1,8 \)

Проверяем знак функции \( 10t^2 - 20t + 3,6 \) на каждом интервале:

• Для \( t < 0,2 \) (например, \( t = 0 \)): \( 3,6 > 0 \)
• Для \( 0,2 < t < 1,8 \) (например, \( t = 1 \)): \( 10(1)^2 - 20(1) + 3,6 = -6,4 < 0 \)
• Для \( t > 1,8 \) (например, \( t = 2 \)): \( 10(2)^2 - 20(2) + 3,6 = 3,6 > 0 \)

Шаг 7: Итоги

Функция \( 10t^2 - 20t + 3,6 \) больше или равна нулю на интервалах:

• \( t < 0,2 \)
• \( t \geq 1,8 \)

Шаг 8: Подсчет времени в зоне видимости

Так как катер начинает свой путь в момент \( t = 0 \) и подходит к пристани, когда \( s(t) = 0 \) (это происходит при \( t = 2,1 \) км). Чтобы найти, сколько времени катер будет в пределах 5,7 км:

• Время в зоне видимости до 0,2 часа не учитывается, так как это незначительный момент.
• Далее, катер не будет в пределах видимости с 0,2 до 1,8 часа, и снова будет виден после 1,8 часа до момента, когда он подойдет к пристани, т.е. 2,1 часа.

Шаг 9: Вывод

Общее время, в течение которого катер находится в зоне видимости наблюдателя:

• Время до 0,2 часа: 0,2 часа
• Время после 1,8 до 2,1 часов: 0,3 часа

Таким образом, всё время в зоне видимости = \( 0,2 + 0,3 = 0,5 \) часа или 30 минут.

Ответ: 30 минут.