Для решения задачи начнем с анализа формулы расстояния катера от пристани, которая задана уравнением:
[ s(t) = 2,1 + 20t - 10t^2 ]
где ( s(t) ) — это расстояние от катера до пристани в километрах, а ( t ) — время в часах.
Шаг 1: Определение границ видимости
Зона видимости наблюдателя составляет 5,7 км. Следовательно, катер должен быть в зоне видимости, если его расстояние от пристани ( s(t) ) меньше или равно 5,7 км.
Шаг 2: Определение времени, когда катер виден
Нам нужно решить неравенство:
[ s(t) \leq 5,7 ]
Подставим в неравенство формулу расстояния катера:
[ 2,1 + 20t - 10t^2 \leq 5,7 ]
Шаг 3: Упростим неравенство
Переносим все члены в одну сторону:
[ -10t^2 + 20t + 2,1 - 5,7 \leq 0 ]
Соберем подобные члены:
[ -10t^2 + 20t - 3,6 \leq 0 ]
Умножим неравенство на -1 (меняем знак неравенства):
[ 10t^2 - 20t + 3,6 \geq 0 ]
Шаг 4: Решение квадратного неравенства
Теперь решим соответствующее квадратное уравнение:
[ 10t^2 - 20t + 3,6 = 0 ]
Используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 3,6
]
[
= 400 - 144 = 256
]
Теперь находим корни уравнения:
[
t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 10}
]
[
= \frac{20 \pm 16}{20}
]
Шаг 5: Нахождение корней
Корни уравнения:
- ( t_1 = \frac{20 + 16}{20} = \frac{36}{20} = 1,8 )
- ( t_2 = \frac{20 - 16}{20} = \frac{4}{20} = 0,2 )
Теперь мы имеем два корня ( t_1 ) и ( t_2 ), которые делят числовую прямую на интервалы. Мы можем определить, на каких интервалах выполняется неравенство ( 10t^2 - 20t + 3,6 \geq 0 ):
Шаг 6: Проверка интервалов
Рассмотрим интервалы:
- ( t < 0,2 )
- ( 0,2 < t < 1,8 )
- ( t > 1,8 )
Проверяем знак функции ( 10t^2 - 20t + 3,6 ) на каждом интервале:
- Для ( t < 0,2 ) (например, ( t = 0 )): ( 3,6 > 0 )
- Для ( 0,2 < t < 1,8 ) (например, ( t = 1 )): ( 10(1)^2 - 20(1) + 3,6 = -6,4 < 0 )
- Для ( t > 1,8 ) (например, ( t = 2 )): ( 10(2)^2 - 20(2) + 3,6 = 3,6 > 0 )
Шаг 7: Итоги
Функция ( 10t^2 - 20t + 3,6 ) больше или равна нулю на интервалах:
- ( t < 0,2 )
- ( t \geq 1,8 )
Шаг 8: Подсчет времени в зоне видимости
Так как катер начинает свой путь в момент ( t = 0 ) и подходит к пристани, когда ( s(t) = 0 ) (это происходит при ( t = 2,1 ) км). Чтобы найти, сколько времени катер будет в пределах 5,7 км:
- Время в зоне видимости до 0,2 часа не учитывается, так как это незначительный момент.
- Далее, катер не будет в пределах видимости с 0,2 до 1,8 часа, и снова будет виден после 1,8 часа до момента, когда он подойдет к пристани, т.е. 2,1 часа.
Шаг 9: Вывод
Общее время, в течение которого катер находится в зоне видимости наблюдателя:
- Время до 0,2 часа: 0,2 часа
- Время после 1,8 до 2,1 часов: 0,3 часа
Таким образом, всё время в зоне видимости = ( 0,2 + 0,3 = 0,5 ) часа или 30 минут.
Ответ: 30 минут.
