Катер прошел 40км по течению и 6км против , затратив на весь путь 6ч. Какова собственная скорость катреа , если скорость течения 2км/ч ?

Для решения этой задачи давайте обозначим известные величины и исходить из формул связи между расстоянием, скоростью и временем. 1. **Заданные данные:** - Расстояние по течению (прямо) — \( D_1 = 40 \) км - Расстояние против течения (обратно) — \( D_2 = 6 \) км - Время в пути — \( T = 6 \) ч - Скорость течения — \( v_t = 2 \) км/ч 2. **Обозначения:** - Пусть собственная скорость катера (без учета течения) равна \( v_k \) км/ч. 3. **Скорости:** - По течению скорость катера будет \( v_k + v_t = v_k + 2 \) км/ч. - Против течения скорость катера будет \( v_k - v_t = v_k - 2 \) км/ч. 4. **Время в пути:** - Время, затраченное на путь по течению: \[ t_1 = \frac{D_1}{v_k + v_t} = \frac{40}{v_k + 2} \] - Время, затраченное на путь против течения: \[ t_2 = \frac{D_2}{v_k - v_t} = \frac{6}{v_k - 2} \] 5. **Составим уравнение по времени:** Из условия задачи знаем, что общее время в пути составляет 6 часов: \[ t_1 + t_2 = 6 \] Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{40}{v_k + 2} + \frac{6}{v_k - 2} = 6 \] 6. **Упростим уравнение:** Умножим уравнение на общий знаменатель \( (v_k + 2)(v_k - 2) \): \[ 40(v_k - 2) + 6(v_k + 2) = 6(v_k + 2)(v_k - 2) \] Раскроем скобки: \[ 40v_k - 80 + 6v_k + 12 = 6(v_k^2 - 4) \] Это можно переписать как: \[ 46v_k - 68 = 6v_k^2 - 24 \] 7. **Приведем все к одному уравнению:** \[ 6v_k^2 - 46v_k + 44 = 0 \] 8. **Решим квадратное уравнение:** Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-46)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 44 \] \[ D = 2116 - 1056 = 1060 \] Затем находим корни уравнения: \[ v_k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 \pm \sqrt{1060}}{12} \] Рассчитаем: \[ \sqrt{1060} \approx 32.5 \rightarrow v_k = \frac{46 \pm 32.5}{12} \] Найдем два возможных значения: 1. \( \frac{46 + 32.5}{12} \approx \frac{78.5}{12} \approx 6.54 \) км/ч 2. \( \frac{46 - 32.5}{12} \approx \frac{13.5}{12} \approx 1.125 \) км/ч 9. **Выбираем разумный результат:** Поскольку собственная скорость катера должна быть больше скорости течения, выберем первое значение: \[ v_k \approx 6.54 \text{ км/ч} \] **Ответ:** Собственная скорость катера составляет примерно \( 6.54 \) км/ч.