Катер прошел 40км по течению и 6км против , затратив на весь путь 6ч. Какова собственная скорость катреа , если скорость течения 2км/ч ?

Для решения этой задачи давайте обозначим известные величины и исходить из формул связи между расстоянием, скоростью и временем.

1. Заданные данные:

   • Расстояние по течению (прямо) — \( D_1 = 40 \) км
   • Расстояние против течения (обратно) — \( D_2 = 6 \) км
   • Время в пути — \( T = 6 \) ч
   • Скорость течения — \( v_t = 2 \) км/ч

2. Обозначения:

   • Пусть собственная скорость катера (без учета течения) равна \( v_k \) км/ч.

3. Скорости:

   • По течению скорость катера будет \( v_k + v_t = v_k + 2 \) км/ч.
   • Против течения скорость катера будет \( v_k - v_t = v_k - 2 \) км/ч.

4. Время в пути:

   • Время, затраченное на путь по течению: \[ t_1 = \frac{D_1}{v_k + v_t} = \frac{40}{v_k + 2} \]
   • Время, затраченное на путь против течения: \[ t_2 = \frac{D_2}{v_k - v_t} = \frac{6}{v_k - 2} \]

5. Составим уравнение по времени: Из условия задачи знаем, что общее время в пути составляет 6 часов: \[ t_1 + t_2 = 6 \] Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{40}{v_k + 2} + \frac{6}{v_k - 2} = 6 \]

6. Упростим уравнение: Умножим уравнение на общий знаменатель \( (v_k + 2)(v_k - 2) \): \[ 40(v_k - 2) + 6(v_k + 2) = 6(v_k + 2)(v_k - 2) \]

   Раскроем скобки: \[ 40v_k - 80 + 6v_k + 12 = 6(v_k^2 - 4) \] Это можно переписать как: \[ 46v_k - 68 = 6v_k^2 - 24 \]

7. Приведем все к одному уравнению: \[ 6v_k^2 - 46v_k + 44 = 0 \]

8. Решим квадратное уравнение: Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-46)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 44 \] \[ D = 2116 - 1056 = 1060 \]

   Затем находим корни уравнения: \[ v_k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 \pm \sqrt{1060}}{12} \]

   Рассчитаем: \[ \sqrt{1060} \approx 32.5 \rightarrow v_k = \frac{46 \pm 32.5}{12} \]

   Найдем два возможных значения:

   1. \( \frac{46 + 32.5}{12} \approx \frac{78.5}{12} \approx 6.54 \) км/ч
   2. \( \frac{46 - 32.5}{12} \approx \frac{13.5}{12} \approx 1.125 \) км/ч

9. Выбираем разумный результат: Поскольку собственная скорость катера должна быть больше скорости течения, выберем первое значение: \[ v_k \approx 6.54 \text{ км/ч} \]

Ответ: Собственная скорость катера составляет примерно \( 6.54 \) км/ч.