реши пример

Чтобы решить этот интеграл \(\int \sqrt{x} \ln x \, dx\), можно использовать метод интеграции по частям. Формула интегрирования по частям:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

Выберем \( u = \ln x \) и \( dv = \sqrt{x} \, dx = x^{1/2} \, dx \).

Теперь найдем \( du \) и \( v \):

• \( du = \frac{d}{dx}(\ln x) \, dx = \frac{1}{x} \, dx \)
• Для нахождения \( v \), интегрируем \( dv = x^{1/2} \, dx \): \[ v = \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2} \]

Теперь подставим в формулу интегрирования по частям: \[ \int \ln x \cdot \sqrt{x} \, dx = \ln x \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \int \frac{2}{3} x^{3/2} \cdot \frac{1}{x} \, dx \]

Упростим оставшийся интеграл: \[ = \frac{2}{3} x^{3/2} \ln x - \frac{2}{3} \int x^{1/2} \, dx \]

В последний интеграл: \[ \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2} \]

Таким образом, имеем: \[ \int \ln x \cdot \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3} x^{3/2} \ln x - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + C \]

Упростим: \[ = \frac{2}{3} x^{3/2} \ln x - \frac{4}{9} x^{3/2} + C \]

Итак, окончательное решение: \[ \int \sqrt{x} \ln x \, dx = \frac{2}{3} x^{3/2} \ln x - \frac{4}{9} x^{3/2} + C \]

Где \( C \) — произвольная константа интегрирования.