Чтобы решить этот интеграл (\int \sqrt{x} \ln x , dx), можно использовать метод интеграции по частям. Формула интегрирования по частям:
[
\int u , dv = uv - \int v , du
]
Выберем ( u = \ln x ) и ( dv = \sqrt{x} , dx = x^{1/2} , dx ).
Теперь найдем ( du ) и ( v ):
- ( du = \frac{d}{dx}(\ln x) , dx = \frac{1}{x} , dx )
- Для нахождения ( v ), интегрируем ( dv = x^{1/2} , dx ):
[
v = \int x^{1/2} , dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2}
]
Теперь подставим в формулу интегрирования по частям:
[
\int \ln x \cdot \sqrt{x} , dx = \ln x \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \int \frac{2}{3} x^{3/2} \cdot \frac{1}{x} , dx
]
Упростим оставшийся интеграл:
[
= \frac{2}{3} x^{3/2} \ln x - \frac{2}{3} \int x^{1/2} , dx
]
В последний интеграл:
[
\int x^{1/2} , dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2}
]
Таким образом, имеем:
[
\int \ln x \cdot \sqrt{x} , dx = \frac{2}{3} x^{3/2} \ln x - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + C
]
Упростим:
[
= \frac{2}{3} x^{3/2} \ln x - \frac{4}{9} x^{3/2} + C
]
Итак, окончательное решение:
[
\int \sqrt{x} \ln x , dx = \frac{2}{3} x^{3/2} \ln x - \frac{4}{9} x^{3/2} + C
]
Где ( C ) — произвольная константа интегрирования.
