решите уравнение

Для того чтобы решить уравнение \(2(\log_9 x)^2 - 3 \log_9 x + 1 = 0\), давайте введем замену:

Пусть \(y = \log_9 x\). Тогда уравнение преобразуется в:

\[2y^2 - 3y + 1 = 0.\]

Теперь мы решим квадратное уравнение стандартным способом. Используем формулу для корней квадратного уравнения:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]

где \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = 1\).

1. Найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1.\]

2. Найдем корни уравнения:

\[y_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{4} = \frac{3 + 1}{4} = 1.\]

\[y_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{4} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}.\]

Таким образом, у нас есть два значения для \(y\): \(y_1 = 1\) и \(y_2 = \frac{1}{2}\).

3. Возвращаемся к переменной \(x\):

• Если \(y_1 = 1\), то \(\log_9 x = 1\). Это означает, что \(x = 9^1 = 9\).

• Если \(y_2 = \frac{1}{2}\), то \(\log_9 x = \frac{1}{2}\). Это означает, что \(x = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3\).

Таким образом, уравнение имеет два решения:

\(x = 9\) и \(x = 3\).