Варшант 2 1. Окружность с центром в точке M(2; -4) проходит через точку N(-3; 1). Напишите уравнение этой окружности. 2. Напишите уравнение прямой, проходящей через начало…
Варшант 2 1. Окружность с центром в точке M(2; -4) проходит через точку N(-3; 1). Напишите уравнение этой окружности. 2. Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку С(-6; -3). 3. Выясните взаимное расположение прямой у = 25 и окружности (x - 5)2 + (у - 7) = 100
Давайте разберем по очереди каждую из заданных задач.
Задача 1: Уравнение окружности
Окружность с центром в точке \( M(2; -4) \) и проходящая через точку \( N(-3; 1) \).
Шаг 1: Найдем радиус окружности.
Радиус окружности – это расстояние от центра окружности до любой точки на ней. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками:
\[
r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
где \( (x_1, y_1) \) – координаты центра \( M(2, -4) \), а \( (x_2, y_2) \) – координаты точки \( N(-3, 1) \).
Подставим значения: \[ r = \sqrt{((-3) - 2)^2 + (1 - (-4))^2} \] \[ = \sqrt{(-5)^2 + (5)^2} \] \[ = \sqrt{25 + 25} \] \[ = \sqrt{50} \] \[ = 5\sqrt{2} \]
Шаг 2: Запишем уравнение окружности.
Уравнение окружности с центром \( (x_0, y_0) \) и радиусом \( r \) имеет вид:
\[
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2
\]
Теперь подставим координаты центра и найденный радиус: \[ (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = (5\sqrt{2})^2 \] \[ (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 50 \]
Это и есть уравнение искомой окружности.
Задача 2: Уравнение прямой
Нам нужно написать уравнение прямой, проходящей через начало координат \( (0, 0) \) и точку \( C(-6; -3) \).
Шаг 1: Найдем наклон прямой (угловой коэффициент).
Угловой коэффициент \( k \) можно найти по формуле:
\[
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\]
где \( (x_1, y_1) = (0, 0) \) и \( (x_2, y_2) = (-6, -3) \):
\[
k = \frac{-3 - 0}{-6 - 0} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}
\]
Шаг 2: Запишем уравнение прямой.
Уравнение прямой можно записать в виде:
\[
y = kx + b
\]
где \( b \) – свободный член. Так как прямая проходит через начало координат, то \( b = 0 \):
\[
y = \frac{1}{2}x
\]
Это и есть уравнение прямой, проходящей через точки \( (0, 0) \) и \( C(-6, -3) \).
Задача 3: Взаимное расположение прямой и окружности
Прямая задана уравнением \( y = 25 \), а окружность имеет уравнение: \[ (x - 5)^2 + (y - 7)^2 = 100 \]
Шаг 1: Подставим уравнение прямой в уравнение окружности. Чтобы выяснить взаимное расположение, подставим \( y = 25 \) в уравнение окружности: \[ (x - 5)^2 + (25 - 7)^2 = 100 \] \[ (x - 5)^2 + 18^2 = 100 \] \[ (x - 5)^2 + 324 = 100 \] \[ (x - 5)^2 = 100 - 324 \] \[ (x - 5)^2 = -224 \]
Шаг 2: Интерпретируем результаты.
Поскольку квадрат числа не может быть отрицательным, это означает, что уравнение не имеет решений. Следовательно, прямая \( y = 25 \) не пересекает окружность и лежит вне её.
Итог
- Уравнение окружности: \( (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 50 \).
- Уравнение прямой: \( y = \frac{1}{2}x \).
- Прямая \( y = 25 \) находится вне окружности \( (x - 5)^2 + (y - 7)^2 = 100 \).
