Давайте разберем по очереди каждую из заданных задач.
Задача 1: Уравнение окружности
Окружность с центром в точке ( M(2; -4) ) и проходящая через точку ( N(-3; 1) ).
Шаг 1: Найдем радиус окружности.
Радиус окружности – это расстояние от центра окружности до любой точки на ней. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками:
[
r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
]
где ( (x_1, y_1) ) – координаты центра ( M(2, -4) ), а ( (x_2, y_2) ) – координаты точки ( N(-3, 1) ).
Подставим значения:
[
r = \sqrt{((-3) - 2)^2 + (1 - (-4))^2}
]
[
= \sqrt{(-5)^2 + (5)^2}
]
[
= \sqrt{25 + 25}
]
[
= \sqrt{50}
]
[
= 5\sqrt{2}
]
Шаг 2: Запишем уравнение окружности.
Уравнение окружности с центром ( (x_0, y_0) ) и радиусом ( r ) имеет вид:
[
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2
]
Теперь подставим координаты центра и найденный радиус:
[
(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = (5\sqrt{2})^2
]
[
(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 50
]
Это и есть уравнение искомой окружности.
Задача 2: Уравнение прямой
Нам нужно написать уравнение прямой, проходящей через начало координат ( (0, 0) ) и точку ( C(-6; -3) ).
Шаг 1: Найдем наклон прямой (угловой коэффициент).
Угловой коэффициент ( k ) можно найти по формуле:
[
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
]
где ( (x_1, y_1) = (0, 0) ) и ( (x_2, y_2) = (-6, -3) ):
[
k = \frac{-3 - 0}{-6 - 0} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}
]
Шаг 2: Запишем уравнение прямой.
Уравнение прямой можно записать в виде:
[
y = kx + b
]
где ( b ) – свободный член. Так как прямая проходит через начало координат, то ( b = 0 ):
[
y = \frac{1}{2}x
]
Это и есть уравнение прямой, проходящей через точки ( (0, 0) ) и ( C(-6, -3) ).
Задача 3: Взаимное расположение прямой и окружности
Прямая задана уравнением ( y = 25 ), а окружность имеет уравнение:
[
(x - 5)^2 + (y - 7)^2 = 100
]
Шаг 1: Подставим уравнение прямой в уравнение окружности.
Чтобы выяснить взаимное расположение, подставим ( y = 25 ) в уравнение окружности:
[
(x - 5)^2 + (25 - 7)^2 = 100
]
[
(x - 5)^2 + 18^2 = 100
]
[
(x - 5)^2 + 324 = 100
]
[
(x - 5)^2 = 100 - 324
]
[
(x - 5)^2 = -224
]
Шаг 2: Интерпретируем результаты.
Поскольку квадрат числа не может быть отрицательным, это означает, что уравнение не имеет решений. Следовательно, прямая ( y = 25 ) не пересекает окружность и лежит вне её.
Итог
- Уравнение окружности: ( (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 50 ).
- Уравнение прямой: ( y = \frac{1}{2}x ).
- Прямая ( y = 25 ) находится вне окружности ( (x - 5)^2 + (y - 7)^2 = 100 ).
