Стороны правильного треугольника АВС равны 5. Найти длину вектора АВ - AC.
Чтобы решить задачу, давайте начнём с определения, что такое правильный треугольник и как вычислять длину векторов.
Определение правильного треугольника: Правильный треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны. В нашем случае стороны треугольника ABC равны 5.
Обозначение векторов:
- Вектор АВ — это вектор, начинающийся в точке A и заканчивающийся в точке B.
- Вектор АC — это вектор, начинающийся в точке A и заканчивающийся в точке C.
Поиск длины разности векторов: Мы хотим найти длину вектора \( \mathbf{AB} - \mathbf{AC} \). Это можно сделать, используя свойство векторов и правила работы с ними.
Длина вектора: Длина вектора определяется как расстояние между его началом и концом. В нашем случае, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длины векторов:
\[ |\mathbf{AB}| = 5 \] \[ |\mathbf{AC}| = 5 \]
Получение разности векторов: Давайте рассмотрим, что значит \( |\mathbf{AB} - \mathbf{AC}| \). Это длина вектора, который следует из точки A до точки B и далее до точки C. На самом деле, вектор \( \mathbf{AB} - \mathbf{AC} \) представляет направление от A к B, затем от A к C.
Мы знаем, что \( \mathbf{AB} \) и \( \mathbf{AC} \) равны по длине. В правильном треугольнике угол между векторами \( \mathbf{AB} \) и \( \mathbf{AC} \) равен 60 градусов.
Использование формулы для длины разности: Длину разности векторов можно рассчитать по формуле: \[ |\mathbf{AB} - \mathbf{AC}|^2 = |\mathbf{AB}|^2 + |\mathbf{AC}|^2 - 2|\mathbf{AB}||\mathbf{AC}|\cos(\theta) \] Где \( \theta \) — угол между векторами (в нашем случае 60 градусов): \[ |\mathbf{AB} - \mathbf{AC}|^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ) \]
Подставляем значения (где \( \cos(60^\circ) = 0.5 \)): \[ |\mathbf{AB} - \mathbf{AC}|^2 = 25 + 25 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 0.5 \] \[ = 25 + 25 - 25 = 25 \]
Далее, извлечем квадратный корень для нахождения длины: \[ |\mathbf{AB} - \mathbf{AC}| = \sqrt{25} = 5 \]
Таким образом, длина вектора \( |\mathbf{AB} - \mathbf{AC}| \) равна 5.
