Решите систему уравнения
Для решения данной системы уравнений:
\[ \begin{cases} x - y = 1, \\ xy = 42 \end{cases} \]
выполним следующие шаги:
Шаг 1: Выразим одну переменную через другую
Из первого уравнения выразим \(x\) через \(y\):
\[ x = y + 1 \]
Шаг 2: Подставим выражение во второе уравнение
Подставим выражение для \(x\) во второе уравнение:
\[ (y + 1) \cdot y = 42 \]
Шаг 3: Решим квадратное уравнение
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:
\[ y^2 + y = 42 \]
\[ y^2 + y - 42 = 0 \]
Найдём корни этого квадратного уравнения используя дискриминант. Уравнение имеет вид:
\[ ay^2 + by + c = 0 \]
где \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -42\).
Дискриминант \(D\) равен:
\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 \]
Корень квадратный из дискриминанта:
\[ \sqrt{D} = \sqrt{169} = 13 \]
Теперь найдём корни:
\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 13}{2} \]
- \(y_1 = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6\)
- \(y_2 = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7\)
Шаг 4: Найдем \(x\) для каждого случая
- Если \(y = 6\), то \(x = y + 1 = 6 + 1 = 7\).
- Если \(y = -7\), то \(x = y + 1 = -7 + 1 = -6\).
Ответ
Система имеет два решения:
- \( (x, y) = (7, 6) \)
- \( (x, y) = (-6, -7) \)
