Для решения данной системы уравнений:
[
\begin{cases}
x - y = 1, \
xy = 42
\end{cases}
]
выполним следующие шаги:
Шаг 1: Выразим одну переменную через другую
Из первого уравнения выразим (x) через (y):
[
x = y + 1
]
Шаг 2: Подставим выражение во второе уравнение
Подставим выражение для (x) во второе уравнение:
[
(y + 1) \cdot y = 42
]
Шаг 3: Решим квадратное уравнение
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:
[
y^2 + y = 42
]
[
y^2 + y - 42 = 0
]
Найдём корни этого квадратного уравнения используя дискриминант. Уравнение имеет вид:
[
ay^2 + by + c = 0
]
где (a = 1), (b = 1), (c = -42).
Дискриминант (D) равен:
[
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169
]
Корень квадратный из дискриминанта:
[
\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13
]
Теперь найдём корни:
[
y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 13}{2}
]
- (y_1 = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6)
- (y_2 = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7)
Шаг 4: Найдем (x) для каждого случая
- Если (y = 6), то (x = y + 1 = 6 + 1 = 7).
- Если (y = -7), то (x = y + 1 = -7 + 1 = -6).
Ответ
Система имеет два решения:
- ( (x, y) = (7, 6) )
- ( (x, y) = (-6, -7) )
