Периметр прямоугольника равен 182м а его площадь 1830м^2 найдите длины сторон прямоугольника
Чтобы найти длины сторон прямоугольника, нам даны два условия: периметр и площадь. Давайте начнем с их использования.
Обозначим длину прямоугольника как \( l \) (length) и ширину как \( w \) (width).
Шаг 1: Запишем формулы для периметра и площади
- Периметр прямоугольника:
\[ P = 2(l + w) \]
- Площадь прямоугольника:
\[ S = l \cdot w \]
Шаг 2: Подставим известные значения
Из условия задачи, мы знаем:
- Периметр \( P = 182 \) м
- Площадь \( S = 1830 \) м²
Подставляем значение периметра в первую формулу:
\[ 2(l + w) = 182 \]
Делим обе стороны на 2:
\[ l + w = 91 \]
Теперь у нас есть первое уравнение:
\[ (1) \quad l + w = 91 \]
Подставим значение площади во вторую формулу:
\[ l \cdot w = 1830 \]
Это у нас второе уравнение:
\[ (2) \quad l \cdot w = 1830 \]
Шаг 3: Подставляем \( w \) из первого уравнения во второе
Из первого уравнения выразим \( w \):
\[ w = 91 - l \]
Теперь подставим это значение во второе уравнение:
\[ l \cdot (91 - l) = 1830 \]
Шаг 4: Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду
Раскроем скобки:
\[ 91l - l^2 = 1830 \]
Переносим всё на одну сторону:
\[ l^2 - 91l + 1830 = 0 \]
Шаг 5: Решим квадратное уравнение
Используем формулу корней квадратного уравнения:
\[ l = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = -91 \), \( c = 1830 \).
Сначала вычислим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-91)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1830 = 8281 - 7320 = 961 \]
Теперь находим корни:
\[ l = \frac{91 \pm \sqrt{961}}{2} \]
Так как \( \sqrt{961} = 31 \), то:
\[ l_1 = \frac{91 + 31}{2} = \frac{122}{2} = 61 \] \[ l_2 = \frac{91 - 31}{2} = \frac{60}{2} = 30 \]
Шаг 6: Находим ширину
Теперь, зная \( l \), можем найти \( w \):
Если \( l = 61 \): \[ w = 91 - 61 = 30 \]
Если \( l = 30 \): \[ w = 91 - 30 = 61 \]
Ответ
Таким образом, длины сторон прямоугольника равны 61 м и 30 м.
