В полном графе количество рёбер 190. Сколько в нём вершин?
Чтобы решить задачу о полном графе, нам нужно использовать известные свойства графов.
Полный граф с \( n \) вершинами, обозначаемый как \( K_n \), имеет следующее количество рёбер:
\[ E = \frac{n(n-1)}{2} \]
где \( E \) — это количество рёбер, а \( n \) — это количество вершин. Это выражение основано на том, что каждая вершина соединяется с каждой другой вершиной, и мы делим на 2, чтобы не считать одни и те же рёбра дважды.
Дано, что количество рёбер \( E = 190 \). Таким образом, мы можем поставить уравнение:
\[ \frac{n(n-1)}{2} = 190 \]
Теперь умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[ n(n-1) = 380 \]
Это уравнение является квадратным. Приведем его к стандартному виду:
\[ n^2 - n - 380 = 0 \]
Теперь мы можем решить это уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -380 \):
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-380) = 1 + 1520 = 1521 \]
Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим известные значения:
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{1521}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 39}{2} \]
Решим это уравнение для двух случаев:
- \( n = \frac{1 + 39}{2} = \frac{40}{2} = 20 \)
- \( n = \frac{1 - 39}{2} = \frac{-38}{2} = -19 \) (это значение не имеет смысла в нашем контексте, так как количество вершин не может быть отрицательным).
Таким образом, получаем, что в полном графе, у которого 190 рёбер, количество вершин равно:
\[ \boxed{20} \]
Вот и всё! Теперь вы знаете, как определить количество вершин в полном графе, зная количество рёбер.
