В полном графе количество рёбер 190. Сколько в нём вершин?

Чтобы решить задачу о полном графе, нам нужно использовать известные свойства графов. Полный граф с \( n \) вершинами, обозначаемый как \( K_n \), имеет следующее количество рёбер: \[ E = \frac{n(n-1)}{2} \] где \( E \) — это количество рёбер, а \( n \) — это количество вершин. Это выражение основано на том, что каждая вершина соединяется с каждой другой вершиной, и мы делим на 2, чтобы не считать одни и те же рёбра дважды. Дано, что количество рёбер \( E = 190 \). Таким образом, мы можем поставить уравнение: \[ \frac{n(n-1)}{2} = 190 \] Теперь умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ n(n-1) = 380 \] Это уравнение является квадратным. Приведем его к стандартному виду: \[ n^2 - n - 380 = 0 \] Теперь мы можем решить это уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -380 \): \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-380) = 1 + 1520 = 1521 \] Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим известные значения: \[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{1521}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 39}{2} \] Решим это уравнение для двух случаев: 1. \( n = \frac{1 + 39}{2} = \frac{40}{2} = 20 \) 2. \( n = \frac{1 - 39}{2} = \frac{-38}{2} = -19 \) (это значение не имеет смысла в нашем контексте, так как количество вершин не может быть отрицательным). Таким образом, получаем, что в полном графе, у которого 190 рёбер, количество вершин равно: \[ \boxed{20} \] Вот и всё! Теперь вы знаете, как определить количество вершин в полном графе, зная количество рёбер.