В треугольнике D F R DFR провели прямую, параллельную стороне F R FR так, что она пересекает стороны D F DF и D R DR в точках S S и Q Q соответственно. Найди длину стороны D F DF…

Давайте разберем задачу шаг за шагом, чтобы понять, как найти длину стороны \( DF \) и площадь треугольника \( DFR \).

Исходные данные:

1. Площадь треугольника \( DSQ = 24 \, \text{см}^2 \)
2. Длина отрезка \( SQ = 4 \, \text{см} \)
3. Длина отрезка \( DS = 13 \, \text{см} \)
4. Длина стороны \( FR = 12 \, \text{см} \)

Шаг 1: Определение подобия треугольников

Треугольники \( DFR \) и \( DSQ \) являются подобными, так как прямая \( SQ \) параллельна стороне \( FR \). Это значит, что их стороны пропорциональны.

Обозначим:

• Полную высоту треугольника \( DFR \) от вершины \( D \) до основания \( FR \) как \( h_{DFR} \).
• Высоту треугольника \( DSQ \) от вершины \( D \) до основания \( SQ \) как \( h_{DSQ} \).

Шаг 2: Вычисление высоты треугольника \( DSQ \)

Для нахождения высоты \( h_{DSQ} \) воспользуемся формулой для площади треугольника:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \]

В нашем случае основание - это \( SQ = 4 \, \text{см} \):

\[ 24 = \frac{1}{2} \times 4 \times h_{DSQ} \]

Решим это уравнение:

\[ 24 = 2 \times h_{DSQ} \implies h_{DSQ} = \frac{24}{2} = 12 \, \text{см} \]

Шаг 3: Определение отношения высот

Так как треугольники подобны, отношение их высот равно отношению соответствующих сторон:

\[ \frac{h_{DFR}}{h_{DSQ}} = \frac{DF}{SQ} \]

Значит, мы можем записать:

\[ h_{DFR} = \frac{DF}{4} \times h_{DSQ} \]

Шаг 4: Площадь треугольника \( DFR \)

Площадь треугольника \( DFR \) также можно выразить через его высоту и основание \( FR \):

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times FR \times h_{DFR} \] Подставим известные значения:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times 12 \times h_{DFR} \]

Шаг 5: Соотношение площадей

Поскольку площади треугольников \( DFR \) и \( DSQ \) также будут пропорциональны по отношению к их основаниям и высотам:

\[ \frac{\text{Площадь } DFR}{\text{Площадь } DSQ} = \left(\frac{DF}{SQ}\right)^2 \] Обозначим площадь \( S \) треугольника \( DFR \) и подставим известные данные:

\[ \frac{S}{24} = \left(\frac{DF}{4}\right)^2 \]

Шаг 6: Площадь DFR в терминах DF

Обозначим \( DF = x \):

\[ S = 24 \cdot \left(\frac{x}{4}\right)^2 = 24 \cdot \frac{x^2}{16} = \frac{3x^2}{2} \]

Шаг 7: Использование условий задачи

Но мы знаем, что также:

\[ h_{DSQ} = 12 \to h_{DFR} = \frac{x}{4} \cdot 12 \implies h_{DFR} = 3x \]

Теперь, подставим \( h_{DFR} \) в формулу площади:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3x = 18x \]

Шаг 8: Сравнение двух выражений

Отсюда мы можем приравнять \( \frac{3x^2}{2} \) и \( 18x \):

\[ \frac{3x^2}{2} = 18x \implies 3x^2 = 36x \implies x^2 - 12x = 0 \implies x(x - 12) = 0 \]

Это дает два решения:

1. \( x = 0 \) (не подходит)
2. \( x = 12 \)

Таким образом, \( DF = 12 \, \text{см} \).

Шаг 9: Площадь треугольника \( DFR \)

Теперь можем найти площадь треугольника \( DFR \):

\[ S = 18x = 18 \cdot 12 = 216 \, \text{см}^2 \]

Ответ:

• Длина стороны \( DF = 12 \, \text{см} \)
• Площадь треугольника \( DFR = 216 \, \text{см}^2 \)