Решим предложенные задачи по вероятности и статистике по порядку.
Задача 1
Стрелок стреляет по 12 мишеням, в каждую по 1 выстрелу. Сколько существует вариантов того, что он попадёт ровно 3 раза?
Эта задача решается с помощью формулы сочетаний (биномиальное распределение). Мы ищем количество способов выбрать 3 попадания из 12 выстрелов.
Формула для вычисления количества сочетаний выглядит так:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где:
- ( n ) — общее количество испытаний (в данном случае 12),
- ( k ) — количество успехов (в данном случае 3).
Подставляем значения:
[
C(12, 3) = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!}
]
Вычисляем факториалы:
[
C(12, 3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1320}{6} = 220
]
Ответ: 220 вариантов.
Задача 2
Что из перечисленного является испытание Бернулли?
- ход в игре "морской бой"
- вытягивание жреби на спичках
- распределение класса на группы
- серия выстрелов по разным мишеням
- бросок монеты
Ответ: Испытанием Бернулли является процесс, который имеет два исхода (например, успех и неуспех).
- Ход в "морской бой" не подходит, так как исходов больше (попадание в разные мишени).
- Вытягивание жребия — это тоже не обязательно два исхода.
- Распределение класса не является испытанием Бернулли.
- Серия выстрелов по разным мишеням может быть испытанием Бернулли, если мы рассматриваем попадание/непопадание в каждую мишень.
- Бросок монеты — классический пример испытания Бернулли.
Таким образом, правильные ответы: 4) и 5).
Задача 3
Сколько элементарных событий с тремя успехами в серии из 8 испытаний Бернулли?
Элементарные события — это возможные последовательности успехов и неуспехов. Чтобы найти их количество, используем формулу сочетаний:
[
C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!}
]
Вычислим:
[
C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56
]
Ответ: 56 элементарных событий.
Задача 4
Стрелок стреляет по 12 мишеням, вероятность попадания при каждом выстреле составляет 0,6. Какова вероятность того, что он попадёт ровно 3 раза?
Для решения используем формулу вероятности для биномиального распределения:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
]
где:
- ( n = 12 ) (общее количество выстрелов),
- ( k = 3 ) (количество попаданий),
- ( p = 0.6 ) (вероятность попадания).
Подставляем значения:
[
P(X = 3) = C(12, 3) \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^{9}
]
Сначала найдем сочетания:
[
C(12, 3) = 220 \quad (из предыдущей задачи)
]
Теперь считаем вероятность:
[
P(X = 3) = 220 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^9 = 220 \cdot 0.216 \cdot 0.000262144
]
Вычисляем:
[
P(X = 3) \approx 220 \cdot 0.00005623336 = 0.01238 \quad (округлем до сотых)
]
Ответ: 0.01.
Задача 5
Какие последовательности являются серией испытаний Бернулли, проведённой до первого успеха?
Серия испытаний Бернулли до первого успеха — это последовательности, в которых есть любое количество неуспехов (от нуля и более), за которым следует успех. Рассмотрим предложенные варианты:
- 1,3,4,5,6,4 - нет успеха
- 1,2 - нет успеха
- 1,1,2,3,1,2 - нет успеха
- 1,3,4,5,2,4,6 - нет успеха
Поскольку в каждом варианте нет явного успеха, их нельзя отнести к серии испытаний "до первого успеха".
Ответ: Нет правильных ответов среди перечисленных. Все перечисленные последовательности являются последовательностями неуспехов.
Если у вас есть ещё вопросы или задачи, не стесняйтесь их задавать!
