В треугольнике ABC угол C=90 градусов, Ac=3, cos conA=кореньиз5÷5. Найти BC
Решим задачу по шагам, начиная с того, что мы знаем о треугольнике ABC.
Данности:
- Углы: угол C = 90 градусов, следовательно, треугольник ABC — прямоугольный.
- Сторона AC = 3.
- cos(A) = √5 / 5.
Определим стороны треугольника: В прямоугольном треугольнике можем воспользоваться основными тригонометрическими соотношениями. Поскольку мы знаем косинус угла A, применим следующее определение косинуса в треугольнике:
\[ \cos(A) = \frac{соседняя\ сторона}{гипотенуза} \]
В нашем случае соседняя сторона AC соответствует стороне 3 (так как AC — это сторона, прилежащая к углу A), а гипотенуза AB будет обозначаться как c.
Подставляем в формулу:
\[ \cos(A) = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{c} \]
Так как cos(A) = √5 / 5, приравниваем:
\[ \frac{3}{c} = \frac{\sqrt{5}}{5} \]
Решаем уравнение: Рассмотрим это уравнение. Перемножим обе стороны на c и 5:
\[ 5 \cdot 3 = c \cdot \sqrt{5} \]
Это упростится до:
\[ 15 = c \cdot \sqrt{5} \]
Теперь раздельно выразим c:
\[ c = \frac{15}{\sqrt{5}} = \frac{15 \cdot \sqrt{5}}{5} = 3\sqrt{5} \]
Определим сторону BC: Теперь, зная гипотенузу AB (которая равна 3√5), можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти сторону BC. Напомним теорему:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
Подставляем известные значения:
\[ (3\sqrt{5})^2 = 3^2 + BC^2 \]
Вычисляя:
\[ 45 = 9 + BC^2 \]
Теперь вычтем 9 из обеих сторон:
\[ BC^2 = 45 - 9 = 36 \]
Извлечем корень:
\[ BC = \sqrt{36} = 6 \]
Ответ: Таким образом, длина стороны BC в треугольнике ABC равна 6.
