Для решения задачи используем понятия, связанные с архимедовой силой и плотностью.
Дано:
- Вес тела в воздухе обозначим как ( W_{air} ).
- Вес тела в воде обозначим как ( W_{water} ).
- Из условия: ( W_{water} = \frac{1}{1.25} W_{air} ).
Необходимые понятия:
Вес тела (вода и воздух):
- Вес тела в воздухе: ( W_{air} = mg ), где ( m ) – масса тела, ( g ) – ускорение свободного падения.
- Вес тела в воде равен весу тела в воздухе минус архимедова сила, ( F_A ): ( W_{water} = W_{air} - F_A ).
Архимедова сила:
- Архимедова сила равна весу вытесненной жидкости, то есть ( F_A = V \cdot \rho_{water} \cdot g ), где ( V ) – объем тела, а ( \rho_{water} ) – плотность воды.
Подстановка:
Теперь подставим выражение для архимедовой силы в уравнение для веса в воде:
[
W_{water} = W_{air} - V \cdot \rho_{water} \cdot g
]
Подставим ( W_{water} ) из условия задачи:
[
\frac{1}{1.25} W_{air} = W_{air} - V \cdot \rho_{water} \cdot g
]
Решение:
Теперь выразим ( \rho_{water} ) и получим соотношение масс и плотностей:
[
\frac{1}{1.25} mg = mg - V \cdot \rho_{water} \cdot g
]
Упростим уравнение:
[
\frac{mg}{1.25} = mg - V \cdot \rho_{water} \cdot g
]
Теперь вынесем ( g ) за скобки и упростим:
[
\frac{m}{1.25} = m - V \cdot \rho_{water}
]
Преобразуем это уравнение:
[
V \cdot \rho_{water} = m - \frac{m}{1.25}
]
[
V \cdot \rho_{water} = m \left(1 - \frac{1}{1.25}\right) = m \left(1 - 0.8\right) = m \cdot 0.2
]
Теперь из этого можно выразить плотность тела:
[
\rho_{body} = \frac{m}{V}
]
Подсчет отношения плотностей:
Сравним плотности:
[
\frac{\rho_{body}}{\rho_{water}} = \frac{m/V}{\rho_{water}} = \frac{m/V}{\rho_{water}} = \frac{m \cdot 1}{0.2V \cdot \rho_{water}} = \frac{1}{0.2} = 5
]
Ответ:
Плотность тела в 5 раз больше плотности воды. Таким образом, (\rho_{body} = 5 \cdot \rho_{water}).
