Привет! Давай попробуем решить твоё неравенство шаг за шагом. Сначала нам нужно найти нули каждого множителя в числителе и знаменателе, поскольку они указывают на значения ( x ), при которых выражение изменяет свой знак.
Мы имеем дело с выражением:
[
\frac{x^7 (x - 3)^2 (x + 2)(x + 8)}{(x - 6)^3} \leq 0
]
Знаменатель неравенства равен нулю при ( x = 6 ), так что мы имеем вертикальную асимптоту на графике функции и это значение не может быть решением неравенства. Нули числителя найдём очень просто: ( x = 0, x = 3, x = -2, x = -8 ). Теперь у нас есть границы интервалов, на которых функция меняет свой знак.
Числитель имеет только чётные степени для ( x = 3 ) (кратность 2), что означает, что при пересечении ( x = 3 ) знак функции не меняется. Для остальных точек знак меняется.
Теперь нужно определить знаки на каждом из интервалов. Можно составить таблицу знаков, исходя из того, какой множитель в каком интервале какой знак имеет, но проще всего будет взять тестовую точку из каждого интервала и подставить её в выражение (не забыв, что само выражение не определено в ( x = 6 )). После определения знаков на интервалах, можно будет выяснить, где неравенство будет выполняться.
Так как ( x^7 ) всегда положительно для ( x > 0 ) и отрицательно для ( x < 0 ), у нас 7 изменений знаков. Поскольку знаменатель возводится в нечётную степень, знак функции меняется при ( x = 6 ).
Окончательно, собирая всё вместе, мы получим, что неравенство будет истинно на интервалах, где выражение отрицательно, и это будет цепь чередующихся интервалов, начинающихся с положительного знака для ( x ) меньше ( -8 ) (поскольку все множители будут отрицательными и их количество чётно).
Итак, у нас будет отрицательный знак на интервалах:
( (-\infty, -8) ), ( (-2, 0) ), ( (3, 6) ).
Решением неравенства будут интервалы:
( x \in (-\infty, -8) \cup (-2, 0) \cup (3, 6) ).
Это и будет итоговый ответ. Надеюсь, моё объяснение поможет тебе понять, как решаются такие задачи! Если что-то непонятно – спрашивай.
