sin45cos 225 – cos45sin225

Чтобы решить задачу \( \sin 45^\circ \cos 225^\circ - \cos 45^\circ \sin 225^\circ \), сначала давайте вспомним о некоторых свойствах тригонометрических функций и основных углах.

Шаг 1: Подсчёт значений тригонометрических функций

1. Найдём значения \( \sin 45^\circ \) и \( \cos 45^\circ \): \[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

2. Теперь найдём значения \( \cos 225^\circ \) и \( \sin 225^\circ \): Угол \( 225^\circ \) находится во третьей четверти, где синус отрицательный, а косинус тоже отрицательный. \[ \cos 225^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 225^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Шаг 2: Подстановка значений в уравнение

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение: \[ \sin 45^\circ \cos 225^\circ - \cos 45^\circ \sin 225^\circ \] Подставляем: \[ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]

Шаг 3: Упрощение выражения

Теперь упрощаем каждое слагаемое: \[ = -\frac{2}{4} - \left(-\frac{2}{4}\right) \] \[ = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \]

Шаг 4: Подсчёт результата

Складываем дроби: \[ -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \]

Ответ

Таким образом, результат выражения \( \sin 45^\circ \cos 225^\circ - \cos 45^\circ \sin 225^\circ \) равен \( 0 \).

Заключение

Эта задача иллюстрирует одно из основных тригонометрических тождеств: \( \sin(a) \cos(b) - \cos(a) \sin(b) = \sin(a - b) \). В данном случае, мы могли бы интерпретировать это как \( \sin(45^\circ - 225^\circ) = \sin(-180^\circ) = 0 \), что подтверждает наш результат.