Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса, который утверждает, что сумма импульсов системы до взаимодействия равна сумме импульсов после взаимодействия, если на систему не действуют внешние силы.
Обозначим:
- ( m_{лодки} = 200 , \text{кг} ) — масса лодки,
- ( v_{лодки} = 1 , \text{м/с} ) — скорость лодки до прыжка,
- ( m_{мальчика} = 50 , \text{кг} ) — масса мальчика,
- ( v_{мальчика} ) — скорость мальчика относительно неподвижной лодки после прыжка,
- ( v_{финальная} ) — скорость лодки и мальчика после прыжка.
- а) Мальчик прыгает с кормы со скоростью 4 м/с
Скорость мальчика относительно неподвижной лодки в этом случае будет направлена против движения лодки и имеет значение ( -4 , \text{м/с} ) (отрицательная скорость, так как он прыгает назад относительно лодки).
Сначала определим импульс до прыжка:
[
p_{до} = (m_{лодки} + m_{мальчика}) \cdot v_{лодки} = (200 + 50) \cdot 1 = 250 , \text{кг} \cdot \text{м/с}
]
После прыжка, суммарный импульс системы будет:
[
p_{после} = m_{лодки} \cdot v_{финальная} + m_{мальчика} \cdot v_{мальчика}
]
Подставляем значения:
[
p_{после} = 200 \cdot v_{финальная} + 50 \cdot (-4) = 200 \cdot v_{финальная} - 200
]
Согласно закону сохранения импульса:
[
p_{до} = p_{после}
]
То есть:
[
250 = 200 \cdot v_{финальная} - 200
]
Решаем относительно ( v_{финальная} ):
[
200 \cdot v_{финальная} = 450
]
[
v_{финальная} = 2.25 , \text{м/с}
]
- б) Мальчик прыгает с носа со скоростью 2 м/с
Скорость мальчика относительно лодки в этом случае будет направлена в том же направлении, что и лодка, и имеет значение ( 2 , \text{м/с} ).
Импульс после прыжка:
[
p_{после} = 200 \cdot v_{финальная} + 50 \cdot 2
]
Сравнивая с импульсом до прыжка:
[
250 = 200 \cdot v_{финальная} + 100
]
Решаем относительно ( v_{финальная} ):
[
200 v_{финальная} = 150
]
[
v_{финальная} = 0.75 , \text{м/с}
]
- в) Мальчик прыгает с носа со скоростью 6 м/с
Скорость мальчика относительно лодки будет ( 6 , \text{м/с} ).
Импульс после прыжка:
[
p_{после} = 200 \cdot v_{финальная} + 50 \cdot 6
]
Сравниваем:
[
250 = 200 \cdot v_{финальная} + 300
]
Решаем относительно ( v_{финальная} ):
[
200 v_{финальная} = -50
]
[
v_{финальная} = -0.25 , \text{м/с}
]
Таким образом, итоговые скорости лодки после прыжка мальчика в каждом случае:
- а) ( v_{финальная} = 2.25 , \text{м/с} )
- б) ( v_{финальная} = 0.75 , \text{м/с} )
- в) ( v_{финальная} = -0.25 , \text{м/с} ) (лодка движется в противоположном направлении)
